【教科書がわかるようになる数Ⅲ】数列の極限11：「無限等比級数

高校教員の『さん』です！

この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。

教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！

その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。

生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。

まずは、教科書の説明をみてみよう！

まずは教科書の説明
簡単に説明するよ！
詳しく説明するよ！
最後に例題
まとめ

まずは教科書の説明

初項が $a$、公比が $r$ の無限等比数列から作られる無限級数

$$a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots\tag{①}$$

を、初項 $a$、公比 $r$ の無限等比級数という。

①の第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とする。

初項 $a = 0$ のとき

無限数列$\{S_n\}$は$0$に収束する。

初項 $a \neq 0$ のときは、次のようになる。

[1] 公比 $r = 1$ のとき

$$S_n = a + a + \cdots + a = n \cdot a$$

$a \neq 0$ であるから、無限数列 $\{S_n\}$ は発散する。

[2] 公比 $r \neq 1$ のとき

$$\displaystyle S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r} = \frac{a}{1 – r} – \frac{a}{1 – r} r^n$$

$|r| < 1$ のとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0$だから

$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1 – r}\tag{②}$$

$|r| \text{≧} 1$ または$r>1$のとき、数列$\{r^n\}$は発散するから、②により無限数列$\{S_n\}$も発散する。

以上から、無限等比数列の収束、発散について次のことがいえる。

初項 $a$、公比 $r$の無限等比数列の収束、発散は次のようになる。
初項 $a \neq 0$のとき
　$|r| < 1$ならば収束し収束し、その和は $\displaystyle\frac{a}{1 – r}$である
　$|r| \text{≧} 1$ならば発散する。
初項 $a = 0$のとき
　収束し、その和は$0$である。

簡単に説明するよ！

無限等比級数とは、等比数列の項を全て足した値のことだよ。

無限等比数列は、公比が$-1$から$1$の間のとき、 $\displaystyle\frac{\text{（初項）}}{1 – \text{（公比）}}$　を計算したら求めることができるよ。

詳しく説明するよ！

無限数列と無限級数の違い

まずは復習から！

無限数列と無限級数は、名前が似ているけど違うものだよ。

無限数列は、数がずっと並んでいる列のこと
$$1, 2, 3, \dots$$
無限級数は、その数列を全部足し合わせたもの
$$1 + 2 + 3 + \dots$$

無限級数は、「部分和 $S_n$」を求めて、最終的にその極限「$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n$ 」を計算することで和を求めるんだ。

無限等比級数の定義と発散の例

無限等比級数は、等比数列をもとにした無限級数のことだよ。

たとえば

$$1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$$

これは初項 $1$、公比 $2$ の無限等比級数。

ここで注目するのは、公比 $r$ の値だね。

上の例みたいに $|r| \text{≧} 1$ の場合、項の値がどんどん大きくなるから、無限等比級数は発散してしまう。

無限等比級数が収束する場合

無限等比級数が収束するのは次の2つの場合だけ！

[1] 初項 $a = 0$ の場合

たとえば、初項 $0$、公比 $2$ の無限級数

$$0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 2^2 + \cdots$$

どの項も $0$ になるから、当然 $0$ に収束するよ。

[2] 初項 $a \neq 0$、公比 $-1 < r < 1$ の場合

たとえば、初項 $3$、公比 $\displaystyle\frac{1}{2}$ の無限級数

$$3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \cdots$$

等比数列の和を求める公式$\displaystyle\frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$を使うと

$$ S_n = \frac{3(1 – \color{#32cd32}{(\frac{1}{2})^n})}{1 – \frac{1}{2}}$$

ここで $n \to \infty$の極限を取ると、$\color{#32cd32}{\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0}$ だから

$$\color{red}{\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{1 – \frac{1}{2}}} = 6$$

このように、和が収束して $6$ になるんだ！

ここで注目！

$\displaystyle\color{red}{\frac{3}{1 – \frac{1}{2}}}$　は　$\displaystyle\color{red}{\frac{\text{(初項})}{1 – \text{(公比)}}}$　の形になってるね。

さん

「$\displaystyle\color{red}{\frac{\text{(初項)}}{1 – \text{(公比)}}}$　は導出も含めて覚えておこう！次の見出しで一般化するよ」

無限等比級数の和の公式

無限等比級数の和の公式を導出をするよ！

部分和を求める公式は

$$S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$$

ここで、もし公比が $-1 < r < 1$ の範囲なら、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$になる。

だから、無限等比級数の和の公式は

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1 – r}$$

さん

「この公式を使うときは必ず”公比が $-1 < r < 1$であるか”をチェックしてね！」

問：初項 $3$、公比 $\frac{1}{2}$ の無限等比級数の和を求めよ。
$$3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \cdots$$

公比は$\displaystyle\frac{3}{2}$で、$\displaystyle\left|\frac{3}{2}\right|<1$であるから収束し、和は$\displaystyle\frac{3}{1 – \frac{1}{2}}=6$

最後に例題

例題： 次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

$$5 – \frac{5}{3} + \frac{5}{9} – \cdots$$

解答

公比は $\displaystyle -\frac{1}{3}$ で、$\displaystyle \left| -\frac{1}{3} \right| < 1$であるから収束し、和は$\displaystyle \frac{5}{1 – (-\frac{1}{3})} = \frac{5}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{5}{\frac{4}{3}} = \frac{15}{4}$

まとめ

無限等比級数とは？
初項 $a$、公比 $r$ を持つ等比数列の無限級数のこと。
$$a + ar + ar^2 + \cdots$$
収束・発散の条件
- 初項 $a = 0$：収束し、和は $0$。
- 初項 $a \neq 0$
  - $|r| < 1$：収束し、和は $\displaystyle\frac{a}{1 – r}$
  - $|r| \text{≧} 1$：発散する