こんにちは、高校教員の『さん』です。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？
私のクラスにも、同じ悩みを抱えて苦しんでいた生徒がたくさんいました。
• 「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」
• 「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」
こうした悩みを、このブログを通じて解決し、勉強の効率を一気に上げていきましょう！
例えば、今まで1時間かかっていた勉強が30分で終わるようになれば、余った時間を復習や他の科目に使えます。その結果、テストの点数が上がり、自信にもつながっていきます。
では、なぜ教科書は読みにくいのでしょうか？
それは、「正確さ」と「簡潔さ」を最優先に作られているからです。
どんな人が読んでも、同じ意味にしか取られないようにするため、説明が端的で抽象的になりがちです。
そのため、教科書の内容を理解するには、「自分で噛み砕いて考える力」が必要です。
このブログでは、私が生徒と関わる中で気づいたことや、よく寄せられる質問、つまずきやすいポイントをもとに、教科書の内容をわかりやすく解説していきます。
「噛み砕き方」がわかれば、文章はぐっと読みやすくなります！
まずは、教科書の説明を見てみましょう。
まずは教科書の説明
関数 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+a}{x-1}\) が \(x=-1\) で極値をとるように、定数 \(a\) の値を定めよ。また、このとき、関数 \(f(x)\) の極値を求めよ。
\(f(x)\) は \(x=-1\) で微分可能であるから、\(f(x)\) が \(x=-1\) で極値をとるならば \(f'(-1)=0\) すなわち \(\displaystyle \frac{2-a}{4}=0\)
これを解くと、 \(a=2\) となる。
逆に、このとき \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+2}{x-1}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}\)
\(f(x)\) の増減表は次のようになる。
よって、 \(f(x)\) は \(x=-1\) で極値をとり、条件を満たす。
\(a=2,\:x=-1\) で極大値 \(-1,\:x=3\) で極小値 \(7\)
簡単に説明するよ
「\(x=a\) で極値をとる」という情報から、関数 \(f(x)\) の係数を求める方法は、
- \(f'(a)=0\) を立式して係数を求める。
- 求めた係数でちゃんと「 \(x=a\) で極値をとる」ことを確認する。
です。
詳しく説明するよ
例題を使って説明していきます。
関数 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+a}{x-1}\) が \(x=-1\) で極値をとるように、定数 \(a\) の値を定めよ。また、このとき、関数 \(f(x)\) の極値を求めよ。
関数 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+\color{hotpink}{a}}{x-1}\) の、定数 \(\color{hotpink}{a}\) を求めていきましょう。
条件として「\(x=-1\) で極値をとるように」と言われていますね。
\(f'(a)=0\) を立式して係数を求める
「\(x=-1\) で極値をとる」ということは、「\(x=-1\) で \(f'(x)\) が \(0\) 」になるということでした。
これを使って方程式を立式しよう。
この方程式を解くことによって、係数を求めることができます。
\(f'(-1)=0\) より \(\displaystyle \frac{(-1)^2-2\cdot(-1)-1-a}{(-1-1)^2}=0\)
よって \(a=2\)
「 \(x=a\) で極値をとる」ことを確認する
\(a\) の値がでて「よし！できた！」って思ったらダメです。
ここで解答をやめたら減点されてしまいます。
\(a\) の値は「\(x=-1\) で極値をとる」ということは、「\(x=-1\) で \(f'(x)\) が \(0\) 」になるとだから、\(f'(-1)=0\) という方程式を立てて求めましたね。
でも、よく考えてみてください。
「\(x=-1\) で \(f'(x)\) が \(0\) 」になっても「\(x=-1\) で極値をとる」とは限らないのです。
まだよく分かりませんよね。
次の図で説明していきます。
この図では「\(f'(x)\) が \(0\) 」になっていますが、「極値」とはなっていませんね。
「\(x=-1\) で極値をとる」のだったら、必ず「\(x=-1\) で \(f'(x)\) が \(0\) 」になるのだけれど、
「\(x=-1\) で \(f'(x)\) が \(0\) 」になっても「\(x=-1\) で極値をとる」とは限らない。
だから、本当に「\(x=-1\) で \(f'(x)\) が \(0\) 」から求めた関数が「\(x=-1\) で極値をとる」かを、確認しないといけないんです。
極値をとるかどうかは、増減表を作れば確認できましたね。
\(f'(x)\) の \(\color{red}{+}\) \(\color{blue}{-}\) が変わるタイミングが極値！
\(\color{red}{+}\) から \(\color{blue}{-}\) が極大値
\(\color{blue}{-}\) から \(\color{red}{+}\) が極小値
このとき \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+2}{x-1}\)
\(\)
\(f'(x)=0\) とすると \(x=-1,\:3\)
増減表より、確かに \(x=-1\) で極値をとる
おまけ
ここまでが、「\(x=a\) で極値をとる」という情報から、関数 \(f(x)\) の係数を求める方法でした。
例題の最後に「また、このとき、関数 \(f(x)\) の極値を求めよ。」っておまけの問題がついましたね。
増減表から極値を求めておしまいですね。
\(x=-1\) で極大値 \(-1\) 、\(x=3\) で極大値 \(7\)
\(f'(-1)=0\) より \(\displaystyle \frac{(-1)^2-2\cdot(-1)-1-a}{(-1-1)^2}=0\)
よって \(a=2\)
\(f'(x)=0\) とすると \(x=-1,\:3\)
増減表より、確かに \(x=-1\) で極値をとる
よって \(a=2\)、\(x=-1\) で極大値 \(-1\) 、\(x=3\) で極大値 \(7\)
まとめ
今回のポイントを整理すると、次のようになります。
- 「\(x=a\) で極値をとる」 という情報を使って、関数 \(f(x)\) の 係数を求める方法
- \(f'(a)\) = 0 を立式 して、係数を求める
- 本当に極値をとるか確認する！（増減表を作って確認）
最初に戻って、教科書の説明を読んでみよう！スラスラ理解できるはずだよ！
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