【数列の極限とは？】収束と発散をわかりやすく解説！具体例付きで完全理解しよう

高校教員の『さん』です！

この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。

教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！

その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。

生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。

まずは、教科書の説明をみてみよう！

まずは教科書の説明！
簡単に説明するよ！
詳しく説明するよ！
1. 収束する数列の例
2. 発散する数列の例
極限のポイントを説明するよ！
まとめ：数列の極限とは

まずは教科書の説明！

数列の極限とは

数列 $ \{a_n\} $ において，$ n $ を限りなく大きくするとき，$ a_n $ がある値 $ α $ に限りなく近づくならば、$ \{a_n\} $ は $ α $ に収束する，または $ \{a_n\} $ の極限は $ α $ であるという。また，値 $ α $ を $ \{a_n\} $ の 極限値 ともいう。

このことを次のように書き表す。

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = α$$

$$n → \infty　のとき　\{a_n\} → α $$

数列 $ {a_n} $ で $ {n} $ を限りなく大きくしたときに、値が限りなく大きくなることを 正の無限大に発散する といい、次のように表す。

$$ \lim_{n \to \infty} \{a_n\} = \infty$$

$$n → \infty　のとき　a_n → \infty $$

また、値が限りなく小さくなることを 負の無限大に発散する といい、次のように表す。

$$ \lim_{n \to \infty} \{a_n\} = -\infty$$

$$n → \infty　のとき　a_n → -\infty $$

さらに、発散する数列が、正の無限大に発散せず、負の無限大に発散もしない場合、その数列は振動すると言う。

簡単に説明するよ！

数列の極限とは、数列 $\boldsymbol{\{a_n\}}$ の項数 $\boldsymbol{n}$ をどんどん大きくしていくとき、その値がどこに向かうかを表すものだよ。

例えば、数列 $\boldsymbol{\{1, 1.1, 1.01, 1.001, \cdots\}}$ を考えると、項が増えるごとに値が「1」に近づいていくよね。こういう数列は「1に収束する」と言うんだ。

一方、項が増えるにつれてどんどん大きくなったり、小さくなったりする数列もある。

例えば、$\boldsymbol{\{2, 4, 8, 16, \cdots\}}$ は値がどんどん増えていくから「発散する」と呼ぶよ。

「収束」と「発散」の違いは、数列が最終的に特定の値に近づくかどうかにあるんだね。

教科書ではこんな風に書いてあるけど、ちょっと難しく感じるよね。

だからこの記事では、この考えをもっとわかりやすく説明していくよ！

さん

「極限って聞くと難しそうだけど、実は『どこに向かうのか』を考えるだけなんだ。基本的なイメージをつかむことが大事だよ！」

詳しく説明するよ！

数列の極限を理解するには、具体例を見るのが一番！

次の例で「収束」と「発散」を学んでみよう。

収束する数列の例

数列 $\boldsymbol{\{1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, \cdots\}}$ を考えよう。

この数列は項が増えるほど「1」にどんどん近づいていくね。

こういう数列のことを「収束する」と言って、数式では次のように表すよ
$$\lim_{n \to \infty} \{1 + (0.1)^n\} = 1$$

発散する数列の例

次に、発散する数列を見てみよう。

例えば、数列 $\boldsymbol{\{2, 4, 8, 16, \cdots\}}$ はどんどん大きな値になっていく。

この場合は「正の無限大に発散する」と言って、数式では次のように表すよ
$$\lim_{n \to \infty} 2^n = \infty$$

また、こんな数列 $\boldsymbol{\{-3, -6, -9, -12, \cdots\}}$ もある。

この数列はどんどん小さな値になっていくね。

「負の無限大に発散する」と言って、数式では次のように表すよ
$$\lim_{n \to \infty} -3n = -\infty$$

最後に、「収束」も「発散」もしない例を見てみよう。

数列 $\boldsymbol{\{-1, 1, -1, 1, \cdots\}}$ の場合、値が交互に変化して特定の値に近づかないね。

こういう数列は「振動する」と言うよ。

さん

「具体例を考えると『収束』と『発散』の違いが見えてくるよね。これを覚えておくと、どんな数列でもスムーズに分類できるはず！」

極限のポイントを説明するよ！

数列の極限を考えるときは、以下のポイントを押さえるとわかりやすいよ

数列の振る舞いを観察する
- 数列がどこに向かうかを具体的に考える。
- グラフにしてみると、直感的にわかりやすいこともあるよ！
数式での極限の読み方を理解する
- 教科書でよく出てくる $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}$ は、「$n$ が無限に大きくなるとき」と読むんだ。
- 特定の値に近づく場合は、その値が「極限値」。そうでない場合は「発散」と判断するよ。
問題を解く上での注意点
- どんな数列でも「収束」「発散」のいずれかに分類できる。
- 「発散」にはさらに3種類（正の無限大、負の無限大、振動）があることを覚えておこう。