数列の極限02：「数列の極限の基本的な性質」

高校教員の『さん』です！

この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。

教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！

その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。

生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。

まずは、教科書の説明をみてみよう！

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まずは教科書の説明！

• 定数倍の性質
  数列\(\{a_n\}\)が収束し、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha\)のとき
  \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} k \cdot a_n = k \cdot \alpha（ただし、kは定数)\)
  　
• 和と差の性質
  数列\(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)がそれぞれ収束し、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha\), \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \beta\)のとき
  \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta\), \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_n – b_n) = \alpha – \beta\)
  　
• 積の性質
  数列\(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)がそれぞれ収束し、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha\), \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \beta\)のとき
  \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \alpha \cdot \beta\)
  　
• 商の性質
  数列\(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)がそれぞれ収束し、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha\), \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \beta\)のとき
  \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}\)
  　

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簡単に説明するよ！

数列が収束するなら、

• 数列に数字を掛けたら、極限も数字を掛けた結果になるってこと
• 数列どうしを足したり引いたりしたら、極限も足したり引いたりした結果になるってこと
• 数列どうしを掛けたら、極限も掛けた結果になるってこと
• 数列を数列で割ったら、極限も割った結果になるってこと

詳しく説明するよ！

数列の定数倍、和・差、積、商の極限は代入するだけで求めれるんだ！

• 定数倍の性質
  数列\(\{a_n\}\)を定数\(k\)倍した場合、数列が収束しているなら、その極限値をそのまま\(\boldsymbol{k}\)倍すればいいんだ。
  　
  例えば、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 2\)、定数\(k = 3\)なら
  \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (3 \cdot a_n) = 3 \cdot 2 = 6\)
  　
• 和と差の性質
  数列\(\{a_n\}\)と\(\{b_n\}\)が収束しているとき、それぞれの極限値を足したり引いたりすれば、全体の極限値がわかる。
  　
  例えば、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 2, \lim_{n \to \infty} b_n = -3\)なら
  \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = 2 + (-3) = -1\)
  　
• 積の性質
  数列\(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)が収束している場合、極限値はそれぞれの極限値を掛けたものになる。
  　
  例えば、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 2, \lim_{n \to \infty} b_n = -3\)なら
  \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = 2 \cdot (-3) = -6\)
  　
• 商の性質
  数列\(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)が収束している場合、極限値はそれぞれの極限値で割ったものになる。
  　
  例えば、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 2, \lim_{n \to \infty} b_n = -3\)なら
  \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}\)

これらの公式は、収束する数列に対して極限を簡単に計算するためのルールみたいなものだよ！

次に、これらの性質を使う際の条件を確認してみよう。

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発散する例：不定形が計算できない理由

数列の極限の性質が使えるのは、\(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)がともに収束している場合だけ！

数列が発散する場合には、これらの性質を使えないことがある。

特に\(\boldsymbol{\infty – \infty}\)や\(\boldsymbol{\displaystyle\frac{\infty}{\infty}}\)のような形には注意しよう。

例えば、 \(\color{red}{a_n = n + 1}, \quad \color{blue}{b_n = n}\) で考える

このとき、

\(
\displaystyle\lim_{n \to \infty} \color{red}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \color{red}{ n + 1 }=\infty
\)

\(
\displaystyle\lim_{n \to \infty} \color{blue}{b_n}= \lim_{n \to \infty} \color{blue}{n} = \infty
\)

だから、

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\color{red}{ a_n} – \color{blue}{b_n}) = \infty – \infty = 0\)になりそうじゃない？

でもこれは大きな間違い！！

正しく、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\color{red}{ a_n} – \color{blue}{b_n})\)を計算すると

\(
\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\color{red}{a_n} -\color{blue}{ b_n}) &= \lim_{n \to \infty} \{\color{red}{(n + 1)} – \color{blue}{n}\} \\
&= \lim_{n \to \infty} 1 \\
&= 1
\end{aligned}
\)

ここから、\(\boldsymbol{\infty – \infty}\)が 必ず0 になるわけではないことがわかる。

同じように、\(\boldsymbol{\displaystyle\frac{\infty}{\infty}}\)も必ず１になるわけではないんだ。

このような場合には、数列の具体的な形に基づいて計算する必要があるよ。

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最後に例題！

解答

（１）
\(
\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{n \to \infty} (3 \cdot a_n + b_n) &= 3 \cdot \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n \\
&= 3 \cdot 2 – 3 \\
&= 3
\end{aligned}
\)

（２）
\(
\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_n – 2) &= \lim_{n \to \infty} a_n – \lim_{n \to \infty} 2\\
&= 2 – 2 \\
&= 0\\
\end{aligned}
\)

（３）
\(
\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{b_n + 4}{a_n – 3} &= \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty} (b_n + 4)}{\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_n – 3)} \\
&= \frac{-3 + 4}{2 – 3} \\
&= -1
\end{aligned}
\)

極限の性質をしっかり使いこなして、計算を簡単に進められるようにしよう！

まとめ：数列の極限の基本的な性質

数列の極限計算をスムーズに行うためには、次のポイントを押さえておこう。

1. 極限の性質は収束している数列に対してのみ成り立つ！
   • 発散する数列、不定形（　\(\boldsymbol{\infty – \infty}\)　や　\(\boldsymbol{\displaystyle\frac{\infty}{\infty}}\)　）が含まれる場合には注意が必要。
2. 計算ルールを正確に適用しよう
   • 各数列が収束するなら、数列の定数倍、和・差、積、商の極限は代入するだけ。