【数学A】確率03：確率の加法定理

さん

今日の板書はこれ！

確率の加法定理

事象A,Bが同時にはおこらないとき、つまり\(A\cap B=\emptyset\)のとき、事象A,Bは互いに排反であるという。

事象A,Bが互いに排反であるとき、確率の加法定理が成り立つ
\(P(A\cap B)=P(A)+P(B)\)
（AまたはBの確率）＝（Aの確率）＋（Bの確率）

生徒

もっと詳しく願いします！！

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？

私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

• 「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」

• 「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」

教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！

このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

勉強しても成績が上がらない3つの理由と現役教師が教えるたった1つの解決策

一生懸命やってるのに結果が出ない…そんな中高生の悩みを、現役教師が本気で解決！信頼できる家庭教師が導く正しい学び方とは？

確率の加法定理
1. 例題で考える
2. 確率の加法定理が使えない確率
まとめ：確率の加法定理

確率の加法定理

例題で考える

さん

次の例題で考えよう！

例題

赤玉4個、白玉3個の入った袋から2個の玉を同時に取り出すとき、2個が同じ色である確率を求めよ。

「取り出した2個の玉が同じ色である」という事象は、次の2つに分けて考えることができます。

「2個とも赤である」
「2個とも白である」

今回は、この「2個とも赤である確率」と「2個とも白である確率」をそれぞれで考えてみましょう。

全事象を考える

まずは「全事象を何にするか」を決めましょう。

さん

なにがいいかな？

生徒

んー、「7個の玉から2個を選ぶ組合せ」かな！

分母分子の要素数を考える

次に、分母と分子の要素数を求めていきます。

分母：「7個の玉から2個を選ぶ」

分母「赤玉4個、白玉3個の入った袋から2個の玉を同時に取り出す組合せ」は\(_7C_2\)通りです。

分子：「2個とも赤を選ぶ」

「赤玉4個から2個を取り出す組合せ」は、\(_4C_2\)通り。

したがって、「2個とも赤である確率」は、\(\displaystyle \frac{_4C_2}{_7C_2}\)

分子：「2個とも白を選ぶ」

「白玉3個から2個を取り出す組合せ」は、\(_3C_2\)通り。

したがって、「2個とも白である確率」は、\(\displaystyle \frac{_3C_2}{_7C_2}\)

確率を求める

さん

さて問題です！「2個とも赤の確率\(\displaystyle \frac{_4C_2}{_7C_2}\)」と「2個とも白の確率\(\displaystyle \frac{_3C_2}{_7C_2}\)」は、足すのでしょうか？掛けるのでしょうか？

生徒

え…足すのかな？掛けるのかな？

学校で教えていると、「確率を足すのか掛けるのか」で迷う生徒がとても多いです。

ここで一度、自分が何を求めているのか整理しましょう。

今回の問題は「取り出した2個が同じ色である確率」。

これは「2個とも赤である」か「2個とも白である」かのどちらかでOKです。

つまり、「どちらの場合でもいい」＝どちらかが起こればよい
ということ。

「取り出した2個が同じ色である確率」は「2個とも赤」でもいいし、「2個とも白」でもOKです。

このようなときは、、確率を足します。

\( \begin{aligned} \text{(2個が同じ色の確率)}&＝\text{(2個とも赤の確率)}+\text{(2個とも白の確率)} \end{aligned} \)

よって求める確率は、\(\displaystyle \frac{_4C_2}{_7C_2}+\frac{_3C_2}{_7C_2}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 6}+\frac{3\cdot 2}{7\cdot 6}=\frac{3}{7}\)

和の法則を使った求め方

確率の加法定理を使わずに求めてみましょう。

分母「赤玉4個、白玉3個の入った袋から2個の玉を同時に取り出す組合せ」は\(_7C_2\)

分子「取り出した2個が同じ色である組合せ」は「2個とも赤」の\(_4C_2\)通りと、「2個とも白」の\(_3C_2\)通りの合計\(_4C_2+_3C_2\)

よって求める確率は、\(\displaystyle \frac{_4C_2+_3C_2}{_7C_2}=\frac{4\cdot 3 + 3\cdot 2}{7\cdot 6}=\frac{18}{7\cdot 6}=\frac{3}{7}\)

生徒

和の法則も加法定理も似たようなもんだね。

さん

場合の数を足すのか確率を足すのかの違いだね！