【教科書が読めるようになる数Ⅲ】数列の極限：「無限等比数列の極限の基本」

高校教員の『さん』です！

この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。

教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！

その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。

生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。

まずは、教科書の説明をみてみよう！

まずは教科書の説明
簡単に説明するよ！
詳しく説明するよ！
1. 無限等比数列とは？
  1. 無限等比数列$\{r^n\}$の例
2. $\{r^n\}$の$r$による極限の分類
最後に例題
まとめ

まずは教科書の説明

無限等比数列 $\{r^n\}$ について

$r > 1$ のとき　$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$
$r = 1$ のとき　$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 1$
$|r| < 1$ のとき　$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0$
$r \text{ ≦ } -1$ のとき　数列 $\{r^n\}$ は振動する。

また、数列 $\{r^n\}$ が収束するための必要十分条件は$ – 1 < r \text{ ≦ } 1$

簡単に説明するよ！

等比数列$\{r,\:r^2, \:r^3, \:\cdots\}$の極限は公比によって４つに分類できるよ。

公比が$1$より大きいときは、極限は$\infty$に。
公比が$1$のときは、極限は$1$に。
公比が$1$より小さくて$-1$より大きいときは、極限は$0$に。
公比が$-1$より小さいときは、極限は振動する。

公比が$-1$より大きくて$1$以下のときは、収束するよ。

詳しく説明するよ！

無限等比数列とは？

無限等比数列とは、その名の通り「項が無限に続く等比数列」のことだよ。

例えば、次のような数列が無限等比数列の例だね

$\{2, \:4, \:8, \:\cdots\}$（公比 $r = 2$）
$\displaystyle\left\{\frac{1}{2}, \:\frac{1}{4}, \:\frac{1}{8}, \:\cdots\right\}$（公比 $\displaystyle r = \frac{1}{2}$）

無限等比数列 $\{r^n\}$ の場合、数列は次の形で表される

$$\{r^n\} = \{r, \:r^2, \:r^3, \:\dots\}$$

さん

「この $r$ が「公比」と呼ばれ、数列全体の性質を決めるんだ。」

無限等比数列$\{r^n\}$の例

無限等比数列$\{r^n\}$では、「公比 $r$」が極限に大きな影響を与えるよ。

たとえば

公比 $r = 2$ の場合

数列は $\{2, \:4, \:8, \:16, \:\cdots\}$ のようにどんどん大きくなる。
この場合、数列の極限は $\infty$ に発散するよ。

公比 $\displaystyle r = \frac{1}{2}$ の場合

数列は $\displaystyle\left\{\frac{1}{2}, \:\frac{1}{4}, \:\frac{1}{8}, \:\cdots\right\}$ のようにだんだん小さくなる。
この場合、数列の極限は $0$ に収束するよ。

さん

「$\{r^n\}$の極限は次の４つに分類できるよ！”モヤモヤ”から”スッキリ”に！」

$\{r^n\}$の$r$による極限の分類

無限等比数列 $\{r^n\}$ の極限は、公比 $r$ の値によって次の4つのケースに分類できるよ。

それぞれ見ていこう！

1. 公比 $r > 1$ の場合

公比が $1$ より大きいとき、数列の値はどんどん大きくなって$\infty$に発散
具体例：$r = 2$ の場合、数列は $\{ 2, \:4, \:8, \:16, \:\cdots\}$。
極限は次のようになる： $\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$

2.公比 $r = 1$ の場合

公比が $1$ のとき、すべての項が同じ値 $1$ になるから、$1$に収束
具体例：数列は $\{1, \:1, \:1, \:\cdots\}$。
極限は次のようになる： $\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 1$

3. 公比 $-1 < r < 1$ の場合

公比が $-1$ より大きく $1$ 未満のとき、数列の値はだんだん小さくなるから、$0$に収束
具体例：$\displaystyle r = \frac{1}{2}$ の場合、数列は $\displaystyle \left\{ \frac{1}{2}, \:\frac{1}{4}, \:\frac{1}{8}, \:\frac{1}{16}, \:\cdots\right\}$。
極限は次のようになる： $\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

4.公比 $r \text{ ≦ } -1$ の場合

公比が $-1$ 以下の場合、数列の値は振動し、極限を持たない
例えば、$r = -2$ の場合、数列は $\{-2, \:4, \:-8, \:16, \:\cdots\}$。
このように、項の符号が交互に変わり続けるため、極限は存在しない。

さん

「収束するのは$r = 1$ のときと、$-1 < r < 1$ のとき。合わせて$ – 1 < r \text{ ≦ } 1$のときに収束するよ。」

最後に例題

第$n$項が次の式で表される数列の極限を調べよ。

(1) 数列 $\displaystyle\left(\sqrt{3}\right)^n$

(2) 数列 $\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^n$

(3)数列 $\displaystyle\left(-\frac{4}{3}\right)^n$

(1) 数列 $\left(\sqrt{3}\right)^n$

$\infty$ に発散する

$\{\sqrt{3}, \:3, \:3\sqrt{3}, \:9, \:\cdots\}$と続く数列。
公比 $r = \sqrt{3}$ は $1$ より大きい。

(2) 数列 $\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^n$

$0$ に収束する

$\displaystyle\left\{\frac{2}{3}, \:\frac{4}{9}, \:\frac{8}{27}, \:\frac{16}{81}, \:\cdots\right\}$と続く数列。
公比 $\displaystyle r = \frac{2}{3}$ は $-1 < r < 1$ の範囲にある。

(3) 数列 $\displaystyle\left(-\frac{4}{3}\right)^n$

振動し、極限を持たない

$\displaystyle\left\{-\frac{4}{3}, \:\frac{16}{9}, \:-\frac{64}{27}, \:\frac{256}{81}, \:\cdots\right\}$と続く数列。
公比 $\displaystyle r = -\frac{4}{3}$ は $r \text{ ≦ } -1$ の範囲にある。

まとめ

今回の記事では、無限等比数列 $\{r^n\}$ の極限について学びました。

以下に要点を整理するよ！

1. 無限等比数列と極限の基本

無限等比数列とは、項が無限に続く形の数列 $\{r^n\}$ のこと。
公比 $r$ の値によって、数列の極限が変化する。

2. 公比による極限の分類

無限等比数列 $\{r^n\}$ の極限は、次の4つのケースに分類される。

$r > 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$（数列は発散する）
$r = 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 1$（数列は $1$ に収束する）
$-1 < r < 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0$（数列は $0$ に収束する）
$r \text{ ≦ } -1$ のとき：数列は振動して収束しない

3. 例題から学ぶポイント

具体的な例を通して、公比の範囲が極限の結果にどのように影響するかを確認したよ。

数列 $\left(\sqrt{3}\right)^n$
公比 $r = \sqrt{3}$ は $r > 1$ の範囲にある。
この場合、数列の極限は$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{3}\right)^n = \infty$
数列 $\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^n$
公比 $\displaystyle r = \frac{2}{3}$ は $-1 < r < 1$ の範囲にある。
この場合、数列の極限は$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$
数列 $\displaystyle\left(-\frac{4}{3}\right)^n$
公比 $\displaystyle r = -\frac{4}{3}$ は $r \text{ ≦ } -1$ の範囲にある。
この場合、数列は振動して極限を持たない。

無限等比数列の極限を考える際、公比 $r$ の値がどの分類に当てはまるのかを確認することが重要だね。

この考え方が理解できれば、数列の極限をしっかりと押さえられるよ！

次回は、さらに具体的な計算問題を通して極限の考え方を深めていこう！