【教科書が読めるようになる数Ⅲ】数列の極限：「無限等比数列 ( { r^n } ) を含む極限計算」

高校教員の『さん』です！

この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。

教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！

その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。

生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。

まずは、教科書の説明をみてみよう！

まずは教科書の説明
簡単に説明するよ！
詳しく説明するよ！
1. 無限等比数列を含む極限計算のコツ
  1. 例題(1)
  2. 例題(2)
最後に例題
まとめ

まずは教科書の説明

例題：次の極限を求めよ。

$\displaystyle\text{(1) }\lim_{n \to \infty} \{ 5^n – (-2)^n \}$

$\displaystyle\text{(2) }\lim_{n \to \infty} \frac{4^{n+1} + 3^n}{4^n – 3^n}$

$ \begin{aligned} \text{(1) }\displaystyle\lim_{n \to \infty} \{ 5^n – (-2)^n \} &= \lim_{n \to \infty} 5^n \left\{ 1 – \left( \frac{-2}{5} \right)^n \right\} \\ &= \infty \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{(2) }\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{4^{n+1} + 3^n}{4^n – 3^n} &= \lim_{n \to \infty} \frac{4 \cdot 4^n + 3^n}{4^n – 3^n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{4 + \left( \frac{3}{4} \right)^n}{1 – \left( \frac{3}{4} \right)^n} \\ &= 4 \end{aligned} $

簡単に説明するよ！

無限等比級数 $ \{ r^n \} $ を含む極限が、$ \infty – \infty $ や$ \displaystyle\frac{\infty}{\infty}$ の不定形になっているとき、

公比が一番大きいの項をくくり出したり、分母の公比が一番大きい項で割ったりすれば、不定形を解消できる。

詳しく説明するよ！

無限等比数列を含む極限計算のコツ

無限等比数列 $ \{ r^n \} $ を含む極限計算は、整式や分数式の極限と似た考え方で解くことができるよ！

復習しておくと

整式や分数式の極限

「$ \infty – \infty $ の不定形」：最高次数の項をくくり出す。
「$ \displaystyle\frac{\infty}{\infty}$ の不定形」：分母の最高次数の項で分母・分子を割る。

無限等比数列 $ \{ r^n \} $ を含む極限では以下のようにするんだ！

公比の絶対値が最大の項をくくり出す。
分母の公比の絶対値が最大の項で分母・分子を割る。

具体例を見ながら考えてみよう！

例題(1)

$$\lim_{n \to \infty} \{ 5^n – (-2)^n \}$$

このままだと、極限に飛ばせないね。

こんなときは、最高次数の項をくくり出くくり出すことで解決できるんだ！

$ 5^n $ の公比の絶対値は 5。
$ (-2)^n $ の公比の絶対値は 2。

つまり、公比の絶対値が最大の項は $ 5^n $ だね。

これを使ってくくり出してみよう。

$$\lim_{n \to \infty} 5^n \left\{ 1 – \left( \frac{2}{5} \right)^n \right\}$$

ここで、$ n \to \infty $ のとき、$ |r| < 1 $ の無限等比数列は $ 0 $ に近づくんだったね。

だから

$$\infty \cdot \left( 1 – 0 \right)$$

よって答えは

$$ \infty $$

解答

$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \{ 5^n – (-2)^n \} &= \lim_{n \to \infty} 5^n \left\{ 1 – \left( \frac{2}{5} \right)^n \right\} \\ &= \infty \cdot \left( 1 – 0 \right) \\ &= \infty \end{aligned} $

例題(2)

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4^{n+1} + 3^n}{4^n – 3^n}$$

この問題も、このままだと、極限に飛ばせない。

こんなときは、分母の公比の絶対値が最大の項で分母・分子を割ることで解決できるんだ！

分母の公比の絶対値が最大の項$ 4^n $で分母・分子を割ると

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4 + \left( \frac{3}{4} \right)^n}{1 – \left( \frac{3}{4} \right)^n} $$

ここで、$ n \to \infty $ のとき、$ \left( \frac{3}{4} \right)^n $ は $ 0 $ に近づくから、

$$\frac{4 + 0}{1 – 0}$$

よって、答えは

$$ 4 $$

$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{4^{n+1} + 3^n}{4^n – 3^n} &= \lim_{n \to \infty} \frac{4 + \left( \frac{3}{4} \right)^n}{1 – \left( \frac{3}{4} \right)^n} \\ &= \frac{4 + 0}{1 – 0} \\ &= 4 \end{aligned} $

さん

「どう？無限等比数列を含む極限計算も、考え方さえ分かればスッキリ解けるね！公比の絶対値が鍵だから、そこに注目する癖をつけよう！」

最後に例題

次の極限を求めよ。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4^n}{3^n + 2^n}$$

解答

$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{4^n}{3^n + 2^n} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\left( \frac{4}{3} \right)^n}{1 – \left( \frac{2}{3} \right)^n} \\ &= \infty \end{aligned} $