高校教員の『さん』です！
この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。
教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！
その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。
生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。
まずは、教科書の説明をみてみよう！
まずは教科書の説明
例題：数列 \(\displaystyle\left\{ \frac{r^n}{1 + r^n} \right\}\) の極限を、次の各場合について求めよ。
(1) \(|r| < 1\)
(2) \(r < -1\)
解答
簡単に説明するよ！
無限等比級数を含む極限の計算で、公比\(r\)が文字のままだったら、\(r\)の値によって場合分けしないといけないよ。
\(r\)が\(１\)より大きいときと、 \(r\)\が\(-1\)より小さいときは、((\frac{1}{r})^n\) が\(0\)になること使って、工夫して計算しないといけないよ。
詳しく説明するよ！
場合分けの考え方を押さえよう
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{r^n}{1 + r^n} \)を考えるよ！
このような、\(r\)が具体的な数値じゃない\(\{r^n\}\)の極限の問題は、場合分けをしないと解けないんだ。
これは、\(r\)の値によって極限が変わってきちゃうからだね。
復習：無限等比級数の基本
数列 \(\{r^n\}\) の極限は、\(r\) の値によって次のように変化するよ
- \(r > 1\) のとき： \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = \infty\)
- \(r = 1\) のとき： \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 1\)
- \(|r| < 1\) のとき： \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0\)
- \(r \text{ ≦} -1\) のとき：数列 \(\{r^n\}\) は振動する
今回の例題を場合分けする理由
今回の問題では \(r\) の具体的な値がわからないから、「場合分け」をしないと正しい極限を求められないんだ。
以下の2つのケースを考えるよ。
(1) \(|r| < 1\) の場合
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{r^n}{1 + r^n} $$
このとき、\(\{r^n\}\) の極限は \(0\) （例：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n=0 \)）になるから、
$$\frac{0}{1 + 0}$$
よって答えは
$$0$$
(2) \(r < -1\) の場合
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{r^n}{1 + r^n} $$
この場合、\(\{r^n\}\) は振動する（例：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(-2\right)^n \)）から、このままでは計算できないんだ。
計算するには工夫が必要だよ！
「場合分けが面倒に見えるかもしれないけど、ポイントを押さえればサクッと解けるようになるよ！」
発散する場合の工夫
数列 \(\displaystyle\left\{\frac{r^n}{1 + r^n} \right\}\)の \(r < -1\) の場合を考えると、\(\{r^n\}\)は振動してしまうから、そのままでは極限を求められないんだ。
こういうときに必要なのが、「数列 \(\left\{(\frac{1}{r})^n\right\}\) に注目する」という視点！
\(\left\{(\frac{1}{r})^n\right\}\) に注目
\( r < -1 \)のとき、振動する数列 \(\left\{r^n\right\}\)は扱いにくい。
でも、\(\left\{(\frac{1}{r})^n\right\}\) にすれば、扱えるようになるんだ。
実際に、\(\left\{(\frac{1}{r})^n\right\}\) の極限を考えると、\( r < -1 \)のとき \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{r}\right)^n = 0\)
つまり、「\( r < -1 \)のとき\(\left\{(\frac{1}{r})^n\right\}\) の極限は 0 になる」という視点が、この問題を解くカギなんだ！
解法の流れ
1. まずは数式を整理しよう
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{r^n}{1 + r^n}$$
このままだと \(\{r^n\}\) が振動するせいで、極限に飛ばせない。
2. 分母・分子を \(r^n\) で割る
振動する数列 \(\{r^n\}\) を整理するために、分母と分子を \(r^n\)で割ると
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(\frac{1}{r})^n + 1}$$
ここで、\((\frac{1}{r})^n\) の極限に注目するんだ。
3. 極限を飛ばす
\(r < -1\) のとき、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{r}\right)^n = 0\)だから
$$\displaystyle\frac{1}{0 + 1}$$
よって答えは
$$1$$
これで、振動する \(\{r^n\}\) の場合でも極限がしっかり求められたね！
この視点を押さえよう！
ポイントは「数列 \((\frac{1}{r})^n\) に注目すること」。
発散する数列を整理して極限を飛ばせるようにする視点は、他の場合でも役に立つよ！
\((\frac{1}{r})^n\) の極限が 0 になるのは \(r > 1\) の場合も同じなんだ！
だから、\(r < -1\) の場合とまとめて、次のように考えられるよ
\(\displaystyle|r| > 1\) のとき\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{r}\right)^n = 0\)
この視点を押さえておくと、どんな場合でもスムーズに計算できるようになるよ！
「発散する数列も工夫すれば解決できるんだ。この視点を持っておこう！」
最後に例題
数列 \(\left\{ \frac{1 – r^n}{1 + r^n} \right\}\) の極限を、次の場合について求めよ。
(1) \(r > 1\)
(2) \(r = 1\)
(3)\(|r| < 1\)
(4) \(r < -1\)
(1) \(r > 1\) の場合
(2) \(r = 1\) の場合
(3) \(|r| < 1\) の場合
(4) \(r < -1\) の場合
まとめ
今回のポイントを振り返ってみよう。
- \(r\) の値が具体的でないときには、場合分けが必要になる。
- 特に、\(r > 1\) や \(r < -1\) の場合は数列が発散するため工夫が必要だったね。
- 「発散する数列は \((\frac{1}{r})^n\) に注目する」という視点を持つと、問題が解きやすくなるよ！
今回学んだ「場合分け」と「発散する数列に対する工夫」は、他の極限問題にも応用できる大切な考え方だよ。
しっかり身につけよう！
「最初に戻って、教科書の説明を読んでみよう！スラスラ理解できるはずだよ！」
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