高校教員の『さん』です！
この記事を見ると、「教科書の内容がさっぱり分からない…」から「教科書の言いたいことが分かる！！」ようになるよ。
教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！
その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。
生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。
まずは、教科書の説明をみてみよう！
まずは教科書の説明！
関数に微分可能でない \(x\) の値があるときの、極値を求めよう。
関数 \(f(x)=|x|\sqrt{x+1}\) の極値を求めよ。
関数の定義域は \(x≧-1\) である。
\(x≧0\) のとき \(f(x)=x\sqrt{x+1}\)
\(x>0\) において \(\displaystyle f'(x)=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\)
よって、 \(x>0\) では、常に \(f'(x)>0\)
\(-1≦x<0\) のとき \(f(x)=-x\sqrt{x+1}\)
\(-1<x<0\) において \(\displaystyle f'(x)=-\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\)
\(f'(x)=0\) とすると \(x=-\frac{2}{3}\)
以上から、 \(f(x)\) の増減表は次のようになる。
\( \begin{array}{c|cccccc} x & -1 & \cdots & -\frac{2}{3} & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline f'(x) & \text{／} & + & 0 & – & \text{／} & + \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & \frac{2\sqrt{3}}{9} & \searrow & 0 & \nearrow \end{array} \)
よって、 \(f(x)\) は \(\displaystyle x=-\frac{2}{3}\) で極大値 \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}\) 、\(x=0\) で極小値 \(x=0\) をとる。
簡単に説明するよ！
絶対値は中身の \(\color{red}{+}\) \(\color{blue}{-}\) で場合分けするよ。
絶対値の中身が \(0\) になる場所では微分できないことが多いよ。
詳しく説明するよ！
絶対値が含まれる関数の極値を考えていくよ。
関数 \(f(x)=|x|\sqrt{x+1}\) の極値を求めよ。
一番最初に定義域を確認しよう。
１．（分母）\(\neq0\)
２．\(\sqrt{0\text{以上}}\)
３．\(\log{(\text{正})}\)
４． \(\tan\theta\)（\(\theta\neq\frac{\pi}{2}\)）
例題の関数には \(\sqrt{x+1}\) があるから、\(\sqrt{0\text{以上}}\)
定義域は \(x≧-1\)
これからは \(x\) が\(-1\) 以上の範囲で考えていくよ。
関数に絶対値が付いてると計算ができないから、絶対値を外さないといけなかったね。
絶対値は中身の \(\color{red}{+}\) \(\color{blue}{-}\) で場合分け。
中身が \(\color{red}{+}\) のときはそのまま外す。
中身が \(\color{blue}{-}\) のときは \(\color{blue}{-}\) をつけて外す。
関数に含まれる絶対値 \(|x|\) の中身 \(x\) の \(\color{red}{+}\) \(\color{blue}{-}\) で場合分けすることで、絶対値を外すことができるよ。
\(x\) が \(\color{red}{+}\) のとき、つまり \(x≧0\) のときと、
\(x\) が \(\color{blue}{-}\) のとき、つまり \(-1≦x<0\) のときで場合分けをしいくよ。
まずは、 \(x≧0\) のとき。
絶対値をそのまま外して、微分していくよ。
\(x≧0\) のとき \(f(x)=x\sqrt{x+1}\) より
微分ができたら、\(f'(x)=0\) となる \(x\) の値を求めていきたいんだけど、 \(x≧0\) のときは \(\displaystyle \frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\)は \(0\) にならないね。
条件より 常に \(f'(x)>0\)
場合分けしたら、「今はこの範囲の話をしている」って強く意識していようね。
次は、 \(-1≦x<0\) のとき。
絶対値は \(\color{blue}{-}\) をつけて外して、微分していくよ。
\(-1≦x<0\) のとき \(f(x)=\color{blue}{-}x\sqrt{x+1}\) より
微分ができたら、\(f'(x)=0\) となる \(x\) の値を求めよう。
\(f'(x)=0\) とすると \(\displaystyle x=-\frac{2}{3}\) これは条件を満たす。
大事だからもう一度。場合分けしたら、「今はこの範囲の話をしている」って強く意識していようね。
最後に\(\displaystyle x=-\frac{2}{3}\) 前後の \(f'(x)\) の \(\color{red}{+}\) \(\color{blue}{-}\) を考えよう。
常に \(\color{red}{+}\) になる部分は考えない
\(\displaystyle -\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\) の分母 \(2\sqrt{x+1}\) は常に \(\color{red}{+}\) なので分子 \(-(3x+2)\) の \(\color{red}{+}\) \(\color{blue}{-}\) だけを考えればいいね。
\(\displaystyle -1<x<-\frac{2}{3}\) のときは \(-(3x+2)>0\) になるから、 \(f'(x)\) は \(\color{red}{+}\) になる。
\(\displaystyle -\frac{2}{3}<x<0\) のときは \(-(3x+2)<0\) になるから、 \(f'(x)\) は \(\color{blue}{-}\) になる。
あとは、\(\displaystyle x=-1,\:-\frac{2}{3},\:0\) のときの \(f(x)\) を計算すると増減表が書けるよ。
定義域の端っこと、絶対値の中身が \(0\) になるところは微分ができないから「／」を書いておこう！
※絶対値の中身が \(0\) になるところでも微分できることがたまにあるから、不安だったら確認しようね。
最後に極値を答えておしまい！
\(f'(x)\) の \(\color{red}{+}\) \(\color{blue}{-}\) が変わるタイミングが極値！
\(\color{red}{+}\) から \(\color{blue}{-}\) が極大値
\(\color{blue}{-}\) から \(\color{red}{+}\) が極小値
\(\displaystyle x=-\frac{2}{3}\) で 極大値 \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}\)、\(x=0\) で 極小値 \(0\)
定義域は \(x≧-1\)
\(x≧0\) のとき \(f(x)=x\sqrt{x+1}\) より
よって、条件より 常に \(f'(x)>0\)
\(-1≦x<0\) のとき \(f(x)=-x\sqrt{x+1}\) より
\(f'(x)=0\) とすると \(\displaystyle x=-\frac{2}{3}\) これは条件を満たす。
増減表より、\(\displaystyle x=-\frac{2}{3}\) で 極大値 \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}\)、\(x=0\) で 極小値 \(0\)
まとめ
今回のポイントを整理すると、次のようになるよ！
- 絶対値を含む関数の極値を求めるには、場合分けが必要！
- 絶対値の中身が 正 のときはそのまま外す。
- 絶対値の中身が 負 のときはマイナスをつけて外す。
- 絶対値の中身が 0 になる点では、関数が微分可能とは限らない！
- 微分可能でない点では、左右の導関数の符号を調べることで増減を確認する。
- 増減表を作れば、極値がひと目で分かる！
- \(f'(x)\) の符号が \(+ \to -\) なら極大値
- \(f'(x)\) の符号が \(- \to +\) なら極小値
- 問題を解くときの流れ
- 定義域の確認（ルートや分母に注意）
- 絶対値の外し方を場合分け
- 各場合について微分し、増減を調べる
- 増減表を作り、極値を求める
絶対値が入ると計算が大変そうに見えるけど、場合分けして冷静に処理すれば大丈夫！ 増減表を書いて、極値をしっかり押さえよう！
最初に戻って、教科書の説明を読んでみよう！スラスラ理解できるはずだよ！
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