微分法の応用03:「曲線の方程式と接線」

高校教員の『さん』です！

この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。

教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！

その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。

生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。

まずは、教科書の説明をみてみよう！

まずは教科書の説明！
簡単に説明するよ！
詳しく説明するよ！
まとめ

まずは教科書の説明！

曲線が $x,\:y$ の方程式で表されるとき、 $y$ を $x$ の関数と考え、その方程式の両辺を $x$ で微分することで導関数 $y’$ を求めることができる。

例題：楕円 $\displaystyle\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ 上の点 $(2,\:1)$ における接線の方程式を求めよ。

$\displaystyle\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ の両辺を $x$ で微分すると $\displaystyle\frac{2x}{8}+\frac{2yy’}{2}=0$

よって、 $\displaystyle y\neq-\frac{x}{4y}$ であるから、点 $(2,\:1)$ における接線の傾きは $\displaystyle-\frac{2}{4\cdot1}=-\frac{1}{2}$

したがって、求める接線の方程式は $\displaystyle y -1=-\frac{1}{2}(x-2)$ すなわち $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2$

簡単に説明するよ！

関数 $y=f(x)$ 上の点 $(a,\:f(a))$ を通る接線の方程式は、 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ で求められるよ。

関数が $y=f(x)$ ではなく $F(x,\:y)=0$ の場合でも同じように求めることができるよ。

ただし、 $F(x,\:y)=0$ から接線の傾きを求めるには合成関数の微分が必要になるよ。

合成関数の微分は$\displaystyle \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$を使うんだったね。

詳しく説明するよ！

関数 $F(x,\:y)=0$ で表される方程式の接線を考えるよ。

関数 $F(x,\:y)=0$ は例えば $x^2+y^2-1=0$ とか $y^3+y^2+xy+x^3−3=0$ とかのことだよ。

関数 $y=f(x)$ のことを陽関数、関数 $F(x,\:y)=0$ のことを陰関数って呼ぶんだ。

次の例題で説明していくね。

例題：楕円 $\displaystyle\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ 上の点 $(2,\:1)$ における接線の方程式を求めよ。

陽関数 $y=f(x)$ 上の点 $(a,\:f(a))$ を通る接線の方程式は、 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ で求めることができたね。

陰関数 $F(x,\:y)=0$ 上の点 $(a,\:f(a))$ を通る接線の方程式も基本は同じ。

ただ、傾きを求めるために陰関数 $F(x,\:y)=0$ を微分するのに少し工夫が必要なんだ。

傾きを求めるために、$\displaystyle\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ から $y’$ を求めていくよ。

$y’$ は $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ のことだったね。

$\displaystyle\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ の両辺を $x$ で微分すると

$$\displaystyle \frac{2x}{8}+\frac{1}{2} \cdot \frac{d(y^2)}{dx}=0$$

${y^2}$ は直接 $x$ で微分することはできないから、$\displaystyle \frac{d(y^2)}{dx}$ を合成関数の微分を使って計算するんだったね。

$\displaystyle \frac{d(y^2)}{dx}$ は一旦 $y$ で微分して、辻褄が合うように $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ を掛けて求めるよ。

$$\displaystyle \frac{d(y^2)}{dx}=\frac{d(y^2)}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=2yy’$$

だから、

$$\displaystyle \frac{2x}{8}+\frac{1}{2} \cdot 2yy’=0$$

ここまでできたら、あとは $y’=$ にするだけ。

$$y’=-\frac{x}{4y}$$

陰関数はこうやって傾きを求めていくよ。

あとは、点 $(2,\:1)$ における接線の傾きを求めると、接線の方程式が求められる。

傾きは $\displaystyle-\frac{x}{4y}$ に$x=2,\:y=1$ を代入すると

$$-\frac{2}{4\cdot1}=-\frac{1}{2}$$

最後に接線の方程式を求めると

$$y=-\frac{1}{2}(x-2)+1=-\frac{1}{2}x+2$$

両辺を $x$ で微分すると $\displaystyle \frac{2x}{8}+\frac{1}{2} \cdot 2yy’=0$

よって $y\neq0$ のとき $\displaystyle y’=-\frac{x}{4y}$ であるから、接線の傾きは $\displaystyle -\frac{2}{4\cdot1}=-\frac{1}{2}$

したがって接線の方程式は $\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x-2)+1=-\frac{1}{2}x+2$

まとめ

今回の記事では、陰関数の微分 を使って曲線の接線を求める方法を学んだよ。

ポイントの整理

陰関数 $F(x, y) = 0$の微分には 合成関数の微分 を使う
$y^2$ や $xy$ のような項を微分するときは、$\displaystyle \frac{d(y^2)}{dx} = 2yy’$ のように $y’$ を含む形 にする
接線の方程式は、求めた $y’$（接線の傾き）を使って $y = mx + b$ の形に整理する

この考え方が身につけば、楕円や放物線などの 陰関数の微分 もスムーズに解けるようになるよ！