【教科書が読めるようになる数Ⅲ】数列の極限13：「無限級数が発散することの証明」

高校教員の『さん』です！

この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。

教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！

その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。

生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。

まずは、教科書の説明をみてみよう！

まずは教科書の説明！
簡単に説明するよ！
詳しく説明するよ！
最後に例題
まとめ

まずは教科書の説明！

無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するとする。

このとき、その和を$S$、第$n$項までの部分和を$S_n$とすると、数列$\{S_n\}$は$S$に収束する。

$n\text{≧}2$のとき、$a_n=S_n-S_n-1$であるから

$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n &= \lim_{n \to \infty} (S_n-S_{n-1}) \\ &= \lim_{n \to \infty} S_n – \lim_{n \to \infty} S_{n-1} \\ &= S – S \\ &= 0 \\ \end{aligned} $

よって、無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n=0$が成り立つ。

すなわち、次のことが成り立つ。

なお、$2$は$1$の対偶である。

無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$が収束する　$\Rightarrow$　$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n=0$
数列$\{a_n\}$が$0$に収束しない　$\Rightarrow$　無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$は発散する

※$1,　2$の逆は成り立たない。

簡単に説明するよ！

無限級数$a_1+a_2+\cdots$ が収束するなら、数列は0に近づいていく。

この対偶も成り立つから、

数列が0に近づいていかないならば、無限級数$a_1+a_2+\cdots+$ 発散する。

つまり、

無限級数が発散することを示したかったら、「数列が0に近づいていかない」ということを示せばいいってこと。

詳しく説明するよ！

無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$が収束する$\Rightarrow$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n=0$の説明

例えば、無限級数$\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$ は、公比が$\displaystyle\left|\frac{1}{2}\right|<1$だから収束するよね？

で、この数列は$\displaystyle\frac{1}{2}→\frac{1}{4}→\frac{1}{8}$って、だんだん$0$に近づいていっているのが分かる。

こんな感じで、無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するなら、その数列は必ず$0$に近づいていくんだ。

「和と一般項の関係」と「無限級数の求め方」

これを証明するためには「和と一般項の関係」と「無限級数の求め方」の知識とが必要。

「和と一般項の関係」は、$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n$から$S_{n-1}=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}$を引くと、$a_n$だけが残るよってやつ。

$a_n$と$S_n-S_{n-1}$が同じだから、$a_n$の極限と$S_n-S_{n-1}$の極限も同じって考えれるんだ。

「無限級数の求め方」は、無限等比級数$a_1+a_2+\cdots$は、部分和$S_n$の極限のことだったね。

また、部分和$S_{n-1}$の極限も無限級数と同じなんだ。

無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$が収束する$\Rightarrow$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n=0$の証明

上の知識を使って、「無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するなら、その数列は必ず$0$に近づいていく」を証明していくよ。

無限等比級数$a_1+a_2+\cdots$が$S$に収束するとき、

$a_n$の極限は、$S_n-S_{n-1}$の極限のことで、

$S_n$の極限も$S_{n-1}$の極限も$S$になるから、

&&\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n-S_{n-1}) = S – S = 0 &&

これで「無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するなら、その数列$\{a_n\}$は必ず$0$に近づいていく」ってことが証明できたね！

さん

「その逆、『数列$\{a_n\}$が$0$に近づいていくんだったら、無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$は必ず収束する』は成り立たないから注意してね！」

数列$\{a_n\}$が$0$に収束しない$\Rightarrow$無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$は発散するの説明

命題の真偽はその命題の真偽と一致するんだったね！

だから、「無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するなら、その数列$\{a_n\}$は必ず$0$に近づいていく」の対偶「数列$\{a_n\}$が$0$に近づいていかないなら、その無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$は必ず発散する」も成り立つんだ！

これを使って、無限級数の発散を証明するとができるよ。

つまり、「数列$\{a_n\}$が$0$に近づいていかない」ことを示せれば、「無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$は発散する」ことを示したことになるってわけ！

無限級数が発散することの証明

次の例題で説明していくよ。

例題：無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$は発散することを示せ。

無限級数が発散することを示したかったら、数列の極限が $0$ にならないことを示せばよかったね。

この例題では

$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}$$

が $0$ にならないことを示していくよ。

この極限は$\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$ の不定形だから、分母分子を分母の最高次数 $n$ で割ると、

$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}}$$

不定形が解消できたから、$n \to \infty$とすると、

$$1$$

になる。

これで数列の極限が 0 にならないことが示せたから、無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$が発散することを示せたことになるってわけ。

解答

第$n$項は、$\displaystyle a_n=\frac{n}{n+1}$なので、

$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \\ &= 1 ≠ 0 \end{aligned} $

よって、この級数は発散する。

さん

「無限級数が発散することを示したかったら、数列の極限が $0$ にならないことを示そう！」

最後に例題

例題：無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot (2n-1)$は発散することを示せ。

第$n$項は、$\displaystyle a_n=(-1)^{n-1} \cdot (2n-1)$なので、

$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} |a_n| &= \lim_{n \to \infty} |(-1)^{n-1} \cdot (2n-1)| \\ &= \lim_{n \to \infty} (2n-1) \\ &= \infty ≠ 0 \end{aligned} $

よって、この級数は発散する。

さん

「符号の関係で$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$が直接求めづらい場合は、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}|a_n| \neq 0 $ を利用するといいよ！」

まとめ

今回の内容を振り返ると、次のポイントが重要だったね。

無限級数が収束するなら、その一般項は $0$ に収束する。
- 無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ が収束するとき、一般項 $a_n$ の極限は必ず $0$ になる。
- これは、「和と一般項の関係」と「無限級数の求め方」を使って証明できる。
- ただし、一般項が $0$ になったとしても、級数が収束するとは限らないので注意。
数列が $0$ に収束しないなら、その無限級数は発散する。
- 対偶を利用して、数列 $a_n$ が $0$ に収束しないことを示せば、級数の発散が証明できる。
発散の証明の流れ
1. 数列の極限を求める。
2. 極限が $0$ でないことを示す。
3. したがって、級数が発散すると結論づける。