数列の極限05：「はさみうちの原理と追い出しの原理」

高校教員の『さん』です！

この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。

教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！

その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。

生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。

まずは、教科書の説明をみてみよう！

まずは教科書の説明
簡単に説明するよ！
詳しく説明するよ！
1. はさみうちの原理
2. 追い出しの原理
最後に例題
まとめ

まずは教科書の説明

数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$の極限について、次のことが成り立つ。

はさみうちの原理
$b_n \text{ ≦ } a_n \text{ ≦ } c_n$ であるとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$ ならば、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$

追い出しの原理
$a_n \text{ ≦ } b_n$ であるとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ ならば、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$

簡単に説明するよ！

はさみうちの原理とは、

ある数列が、自分より小さい数列と自分より大きい数列の間に存在するとき、
両隣の数列の極限が同じ値に近づいていくなら、挟まれた自分自身の極限も、その値に近づいていくよってこと。

追い出しの原理とは、

自分より小さい数列の極限が$\infty$に近づいていくなら、自分も追い出されて$\infty$に近づいていくよってこと。

要は、

２つの数列が同じ値に近づくなら、挟まれた数列もその値に近づいていくし、

自分より小さい数列が$\infty$に近づいていくなら、自分も$\infty$に近づいていくよってこと。

詳しく説明するよ！

はさみうちの原理

主に三角関数が絡む数列の極限の問題は、「はさみうちの原理」が役に立つんだ！
次の例題をはさみうちの原理を使って解いてみよう。

$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{3}$$

手順1：三角関数の範囲を考える

三角関数 $\sin$ や $\cos x$ の値は、$\boldsymbol{-1}$ から $\boldsymbol{1}$ までの範囲に収まるね。

この問題に出てくる $\displaystyle \sin \frac{n\pi}{3}$ も同じく次の範囲に収まるよ

$$\displaystyle-1 \text{ ≦ } \sin \frac{n\pi}{3} \text{ ≦ } 1$$

手順2：数列全体を挟む不等式を作る

この範囲に $\boldsymbol{\displaystyle\frac{1}{n}}$ をかけると次の不等式が成り立つ

$$\displaystyle -\frac{1}{n} \text{ ≦ } \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{3} \text{ ≦ } \frac{1}{n}$$

手順3：左右の極限を考える

左の数列 $\displaystyle-\frac{1}{n}$ の極限は $\boldsymbol{0}$ になる。
右の数列 $\displaystyle\frac{1}{n}$ の極限も $\boldsymbol{0}$ になる。

手順4：はさみうちの原理を使う

左と右の数列の極限が $\boldsymbol{0}$ になるから、「はさみこまれた」真ん中の数列 $\boldsymbol{\displaystyle\frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{3}}$ の極限も $\boldsymbol{0}$ にならないといけない！

これが「はさみうちの原理」なんだ。

一般化した形

「はさみうちの原理」を一般化すると次のように言える

$b_n \text{ ≦ } a_n \text{ ≦ } c_n$ であるとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$ ならば、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$

まとめ

不等式の左と右の極限が $\boldsymbol{\alpha}$ になるなら、「はさみこまれた」真ん中の極限も $\boldsymbol{\alpha}$ になるよ！ってこと。

〜解答〜

$\displaystyle-1 \text{ ≦ } \sin \frac{n\pi}{3} \text{ ≦ } 1$より　$\displaystyle -\frac{1}{n} \text{ ≦ } \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{3} \text{ ≦ } \frac{1}{n}$

ここで$\displaystyle\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0 $,　$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $

よって、はさみうちの原理より　$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{3} = 0$

さん

「はさみうちの原理は、両端から挟むっていうイメージすると覚えやすいよ！」

追い出しの原理

「追い出しの原理」は、数列の極限が無限大に発散する場合に使える法則だよ。

次の例題を追い出しの原理を使って解いてみよう。

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(n + \sin \frac{n\pi}{3}\right)$$

手順1：三角関数の範囲を考える

三角関数 $\sin x$ の値は $\boldsymbol{-1}$ 以上の範囲になるね。

この問題に出てくる $\displaystyle \sin \frac{n\pi}{3}$ も同じく次の範囲になるよ

$$-1 \text{ ≦ } \sin \frac{n\pi}{3}$$

※「はさみうちの原理」と違って左の範囲だけを考えればいいんだよ！

手順2：数列全体を挟む不等式を作る

この範囲に基準の数列 $n$ を加えると次の不等式が成り立つ

$$\displaystyle n – 1 \text{ ≦ } n + \sin \frac{n\pi}{3}$$

手順3：極限を考える

左の数列 $\boldsymbol{n – 1}$ の極限は$\boldsymbol{\infty}$ になる

手順4：追い出しの原理を適用する

左の数列の極限が$\boldsymbol{\infty}$だから、今回求めたい数列 $\boldsymbol{\displaystyle n + \sin \frac{n\pi}{3}}$ も「追い出されて」$\boldsymbol{\infty}$ に発散しないといけない！

これが「追い出しの原理」なんだ。

一般化した形

追い出しの原理を一般化すると次のように言える

$a_n \text{ ≦ } b_n$ であるとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ ならば、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$

まとめ

不等式で左の数列が$\boldsymbol{\infty}$に発散するなら、右の数列も「追い出されて」$\boldsymbol{\infty}$に発散するよ！ってこと。

〜解答〜

$\displaystyle-1 \text{ ≦ } n + \sin \frac{n\pi}{3}$より　$\displaystyle n – 1 \text{ ≦ } n + \sin \frac{n\pi}{3}$

ここで$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(n – 1\right) = \infty $

よって、追い出しの原理より　$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(n + \sin \frac{n\pi}{3}\right) = \infty$

さん

「追い出しの原理は、無限大になるって分かれば意外と簡単！自分より小さい数列が無限大になるってことを示せばOK！」

最後に例題

次の極限を求めよ。

$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos \frac{n\theta}{6}$$

〜解答〜

$\displaystyle-1 \text{ ≦ } \cos \frac{n\theta}{6} \text{ ≦ } 1$より　$\displaystyle -\frac{1}{n} \text{ ≦ } \frac{1}{n} \cos \frac{n\theta}{6} \text{ ≦ } \frac{1}{n}$

ここで$\displaystyle\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0 $,　$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $

よって、はさみうちの原理より　$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos \frac{n\theta}{6} = 0$

さん

「少し複雑そうな三角関数も、範囲を思い出せば大丈夫！こうやって地道に計算力をつけていこうね。」

まとめ

「はさみうちの原理」と「追い出しの原理」は、主に三角関数を含む数列の極限を求めるときに便利だよ。

それぞれのポイントを簡単に振り返ろう！

はさみうちの原理

条件
数列 $\{b_n\}$、$\{c_n\}$ が $\{a_n\}$ を挟み込む形で、すべての $n$ について次の不等式が成り立つ
$$b_n \text{ ≦ } a_n \text{ ≦ } c_n$$
両端の数列の極限が同じ値に収束する場合
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$$
このとき、真ん中の数列も同じ極限を持つ
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$$
特徴
挟まれている数列の極限が直接求めにくい場合でも、周りの数列を利用して極限を見つけられる。

追い出しの原理

条件：
$\{a_n\}$と $\{b_n\}$ が不等式を満たし、すべての $n$ について次が成り立つ
$$a_n \text{ ≦ } b_n$$
さらに、数列 $\{a_n\}$の極限が無限大に発散する場合
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$$
このとき、数列 $\{b_n\}$も無限大に発散する
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$$
特徴：
数列が無限大に発散することは、それより小さい数列が無限大に発散すること示せば証明できる。

極限の大小関係を理解するメリット