【教科書が読めるようになる数Ⅲ】関数の最大と最小

こんにちは、高校教員の『さん』です。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？

私のクラスにも、同じ悩みを抱えて苦しんでいた生徒がたくさんいました。

• 「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」

• 「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」

こうした悩みを、このブログを通じて解決し、勉強の効率を一気に上げていきましょう！

例えば、今まで1時間かかっていた勉強が30分で終わるようになれば、余った時間を復習や他の科目に使えます。その結果、テストの点数が上がり、自信にもつながっていきます。

では、なぜ教科書は読みにくいのでしょうか？

それは、「正確さ」と「簡潔さ」を最優先に作られているからです。

どんな人が読んでも、同じ意味にしか取られないようにするため、説明が端的で抽象的になりがちです。

そのため、教科書の内容を理解するには、「自分で噛み砕いて考える力」が必要です。

このブログでは、私が生徒と関わる中で気づいたことや、よく寄せられる質問、つまずきやすいポイントをもとに、教科書の内容をわかりやすく解説していきます。

「噛み砕き方」がわかれば、文章はぐっと読みやすくなります！

まずは、教科書の説明を見てみましょう。

まずは教科書の説明
簡単に説明するよ
詳しく説明するよ
まとめ

まずは教科書の説明

例題

次の関数の最大値、最小値を求めよ。

\(y=(1+\sin x)\cos x 　(0≦x≦2\pi)\)

\( \begin{aligned} \displaystyle y’&= \cos x \cdot \cos x + (1+\sin x )\cdot(- \sin x) \\ &= \cos^{\:\,2} x – \sin x – \sin^{\:2} x \\ &= -2\sin^{\:2} x – \sin x + 1 \\ &= -(2\sin x – 1)(\sin x + 1) \end{aligned} \)

\(0<x<2\pi\) において、\(y’=0\) となる \(x\) の値は

\(2\sin x -1=0\) または \(\sin x + 1=0\)

より \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6},\:\frac{5}{6}\pi,\:\frac{3}{2}\pi\)

\(y\) の増減表は次のようになる。

\( \begin{array}{c|ccccccccc} x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{6} & \cdots & \frac{5}{6}\pi & \cdots & 3 & \cdots & 2\pi\\ \hline f'(x) & \text{／} & + & 0 & – & 0 & + & 0 & + & \text{／} \\ \hline f(x) & 1 & \nearrow & \frac{3\sqrt{3}}{4} & \searrow & -\frac{3\sqrt{3}}{4} & \nearrow & 0 & \nearrow & 1 \end{array} \)

よって、yは

\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}\) で最大値 \(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}\)、\(\displaystyle x=\frac{5}{6}\pi\) で最小値 \(\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

簡単に説明するよ

関数の最大値・最小値を求める方法は、

関数を微分する
( 微分した式 )\(=0\) になる \(x\) の値を求める
増減表をかく
最大値・最小値を求める

です。

詳しく説明するよ

関数の最大値・最小値の求め方を例題を使って詳しく説明していきます。

例題

次の関数の最大値、最小値を求めよ。

\(y=(1+\sin x)\cos x 　(0≦x≦2\pi)\)

関数の最大値・最小値は、「グラフを考える」と分かります。

グラフを考えるために、\(y=(1+\sin x)\cos x\) の増減表を作っていきます。

増減表を書くときは、定義域を一番最初に確認しましょう。

定義域の確認ポイント

１．（分母）\(\neq0\)

２．\(\sqrt{0\text{以上}}\)

３．\(\log{(\text{正})}\)

４． \(\tan\theta\)（\(\theta\neq\frac{\pi}{2}\)）

今回は上のポイントには該当しないので、問題文に書いてある \(0≦x≦2\pi\) が定義域です。

定義域の確認はいっつも忘れちゃうんだよな・・・

さん

そうだよね。日頃から定義域を確認する癖をつけておこう！

関数を微分する

グラフの増減を把握するために \(y=(1+\sin x)\cos x \) を微分していきます。

\((1+\sin x)\times\cos x\) 掛け算の積分は「積の微分公式」を使って求めるのでしたね。

積の微分公式

\(\:\{\color{hotpink}{f(x)\:}\color{deepskyblue}{g(x)}\}’=\color{hotpink}{f'(x)}\color{deepskyblue}{g(x)}+\color{hotpink}{f(x)}\color{deepskyblue}{g'(x)}\)

\( \begin{aligned} \displaystyle y’&= \cos x \cdot \cos x + (1+\sin x )\cdot(- \sin x) \\ &= \cos^{\:\,2} x – \sin x – \sin^{\:2} x \\ \end{aligned} \)

このあとは、( 微分した式 )\(=0\) の立式を見越して、因数分解していくのですが、

\(\sin\) も \(\cos\) も混在しているときは、「関数を統一する」ことを考えるとうまく因数分解できますよ。

三角形の相互関係式 \(\color{red}{\sin^{\:2}+\cos^{\:\,2}=1}\) を用いて \(\sin\) のみの式にしていきます。

\( \begin{aligned} \displaystyle \color{red}{\cos^{\:\,2} x} – \sin x – \sin^{\:2} x &= \color{red}{(1-\sin^{\:2} x)} – \sin x – \sin^{\:2} x \\ &= -2\sin^{\:2} x – \sin x + 1 \\ &= -(2\sin x – 1)(\sin x + 1) \end{aligned} \)

( 微分した式 )\(=0\) になる \(x\) の値を求める

( 微分した式 )\(=0\) になる \(x\) の値を求めていきます。

\(y’=0\) とすると \(\displaystyle\sin x = \frac{1}{2},\:-1\)

ここで終わったらダメですよ。

( 微分した式 )\(=0\) になる \(\sin x \) の値が求まったので、\(\sin x \) から \(x\) の値を求めていきます。

定義域は \(0≦x≦2\pi\) でしたね。

\(0≦x≦2\pi\) より \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6},\:\frac{5}{6}\pi,\:\frac{3}{2}\pi\)

増減表をかく

増減表をかくための準備はあとちょっと。

\(y’= \color{blue}{-}(2\sin x – 1)\color{red}{(\sin x + 1)}\) の \(\color{blue}{-}\) \(\color{red}{+}\) を考えます。

\(f'(x)\) の \(\color{red}{+}\) \(\color{blue}{-}\) を考えるコツ

常に \(\color{red}{+}\) になる部分は考えない

\(\color{red}{(\sin x + 1)}\) は常に \(\color{red}{+}\) なので、\((2\sin x – 1)\)の \(\color{blue}{-}\) \(\color{red}{+}\) だけを考えればよかったのでしたね。

三角関数の\(\color{blue}{-}\) \(\color{red}{+}\) は単位円を使って考えましょう。

グラフから、\((2\sin x – 1)\)の \(\color{blue}{-}\) \(\color{red}{+}\) は

\(\displaystyle0<x<\frac{\pi}{6}\) のとき \(\color{blue}{-}\)
\(\displaystyle\frac{\pi}{6}<x<\frac{5}{6}\pi\) のとき \(\color{red}{+}\)
\(\displaystyle\frac{5}{6}\pi<x<2\pi\) のとき \(\color{blue}{-}\)

なので

\(y’= \color{blue}{-}(2\sin x – 1)\color{red}{(\sin x + 1)}\) の \(\color{blue}{-}\) \(\color{red}{+}\) は

\(\displaystyle0<x<\frac{\pi}{6}\) のとき \(\color{red}{+}\)
\(\displaystyle\frac{\pi}{6}<x<\frac{5}{6}\pi\) のとき \(\color{blue}{-}\)
\(\displaystyle\frac{5}{6}\pi<x<2\pi\) のとき \(\color{red}{+}\)

\(y=(1+\sin x)\cos x\)に\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}\) を代入して \(\displaystyle y=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)、\(\displaystyle x=\frac{5}{6}\pi\) を代入して \(\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

これで準備は揃いました。

最大値・最小値を求める

増減表がかけたら、関数のグラフをイメージして最大値と最小値求めましょう。

\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}\) で最大値 \(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}\)、\(\displaystyle x=\frac{5}{6}\pi\) で最小値 \(\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

解答

\( \begin{aligned} \displaystyle y’&= \cos x \cdot \cos x + (1+\sin x )\cdot(- \sin x) \\ &= \cos^{\:\,2} x – \sin x – \sin^{\:2} x \\ &= \color{red}{(1-\sin^{\:2} x)} – \sin x – \sin^{\:2} x \\ &= -2\sin^{\:2} x – \sin x + 1 \\ &= -(2\sin x – 1)(\sin x + 1) \end{aligned} \)

\(y’=0\) とすると \(\displaystyle\sin x = \frac{1}{2},\:-1\)

\(0≦x≦2\pi\) より \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6},\:\frac{5}{6}\pi,\:\frac{3}{2}\pi\)

増減表より \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}\) で最大値 \(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}\)、\(\displaystyle x=\frac{5}{6}\pi\) で最小値 \(\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{4}\)