【数学A】場合の数11：補集合の利用

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現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？

私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！

このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

補集合の利用

直接的に求める

まずは、補集合を利用せずに直接的に求めていきます。

選ぶ5人のうち、子どもが少なくとも1人は含む組合せは、次の4通りです。

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まず、(ⅰ)「大人4人と子ども１人」を選ぶ場合の数を考えます。

大人6人の中から4人を選ぶ組合せは \(_6C_4\) 通り

その選び方それぞれに対して、

子ども4人の中から1人を選ぶ組合せは \(_4C_1\) 通り

よって、\(_6C_4× _4C_1 = 60\) 通り

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次に、(ⅱ)「大人3人と子ども2人」を選ぶ場合の数を考えます。

大人6人の中から3人を選ぶ組合せは \(_6C_3\) 通り

その選び方それぞれに対して、

子ども4人の中から2人を選ぶ組合せは \(_4C_2\) 通り

よって、\(_6C_3× _4C_2 = 120\) 通り

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次に、(ⅲ)「大人2人と子ども3人」を選ぶ場合の数を考えます。

大人6人の中から2人を選ぶ組合せは \(_6C_2\) 通り

その選び方それぞれに対して、

子ども4人の中から3人を選ぶ組合せは \(_4C_3\) 通り

よって、\(_6C_2× _4C_3 = 60\) 通り

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最後に、(ⅳ)「大人1人と子ども4人」を選ぶ場合の数を考えます。

大人6人の中から1人を選ぶ組合せは \(_6C_1\) 通り

その選び方それぞれに対して、

子ども4人の中から4人を選ぶ組合せは \(_4C_4\) 通り

よって、\(_6C_1× _4C_4 = 6\) 通り

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よって、(ⅰ)～(ⅳ)より　\(60+120+60+6=246\) 通り

補集合を利用して求める

5人を選ぶ組合せは、先ほどの(ⅰ)～(ⅳ)に(ⅴ)を加えた次の5通りです。

求めたいのは(ⅰ)～(ⅳ)の合計ですが、その補集合 (ⅴ)「大人5人と子ども0人」を、すべての選び方から引くことで求めていきます。

10人から5人を選ぶ組合せの総数は \(_{10}C_5\) 通り

子どもを選ばない組合せ（大人5人と子ども0人）の総数は \(_6C_5\) 通り

よって、\(_{10}C_5-_6C_5=246\) 通り

まとめ：補集合の利用

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