【数学A】確率09：確率の乗法定理

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現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？

私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！

このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

確率の乗法定理

独立試行の確率では、2つの試行が互いに影響しない場合に\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)が成り立つことを確認しました。

しかし、2つの試行が独立でない場合は、同じようには求められません。

そのときに使うのが、確率の乗法定理です。

確率の乗法定理では、次の式を使って求めます。

\(P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\)

つまり、「AとBが同時に起こる確率」は「Aが起こる確率」 ×「Aが起こったときにBが起こる確率」で求めることができます。

条件付き確率「Aが起こったときにBが起こる確率」と、確率の乗法定理「AかつBが起こる確率」の違いが分からなくなる生徒はよくいます。

例題を通して、両者の関係を整理しながら確認してみましょう。

条件付確率と確率の乗法定理の見分け方と違い

(1) Aが当たったとき、Bが当たる確率

(1)は、「Aが当たったという条件のもとで、Bが当たる確率」を求める問題です。

つまり、条件付確率 \(\color{green}{ P_A(B)}\) を求めることになります。

Aがすでに1本の当たりくじを引いているため、残りは「当たりくじ3本・はずれくじ6本」の9本。

したがって、「Aが当たったとき、Bが当たる確率」は \(\displaystyle \color{green}{ P_A(B)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

(2) A,Bの2人とも当たる確率

(2)は「Aが当たり、さらにBも当たる確率」を求める問題です。

つまり、2つの事象が同時に起こる確率 \(\color{gold}{P(A\cap B)}\) を求めます。

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しかし、「AとBが同時に起こる確率」は、単純に「Aが当たる確率 × Bが当たる確率」では求められません。

なぜなら、「Aが引く」という試行と「Bが引く」という試行は独立ではない からです。

Aの結果がBの状況を変えてしまうため、Bの確率はAの結果に影響を受けます。

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たとえば、

• Aが当たりを引いた場合：Bは「当たり3本・はずれ6本」の9本の中から引く。
• Aがはずれを引いた場合：Bは「当たり4本・はずれ5本」の9本の中から引く。

このように、Aの結果でBの確率が変化するため、確率の乗法定理を使って求めます。

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確率の乗法定理は、\(\color{gold}{P(A\cap B)}=\color{blue}{P(A)}\color{green}{ P_A(B)}\) です。

つまり、「Aが当たる確率」 × 「Aが当たったときにBが当たる確率」で求められます。

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「Aが当たる確率」は \(\displaystyle \color{blue}{P(A)}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)

「Aが当たったときにBが当たる確率」は(1)より \(\displaystyle \color{green}{P_A(B)}=\frac{1}{3}\)

したがって、

(1)条件付確率と(2)乗法定理の見分け方と違い

(1)は 「Aが当たったとき、Bが当たる確率」を求めました。

つまり、「Aが当たったという条件のもとで、Bが当たる確率」を求める問題です。

したがって、条件付き確率 \(\color{green}{ P_A(B)}\) を用いて求めます。

一方、(2)では「A,Bの2人とも当たる確率」を求めました。

これは「Aが当たり、さらにBも当たる」という、2つの事象が同時に起こる確率を求める問題です。

この場合は、確率の乗法定理 \(\color{gold}{P(A\cap B)}=\color{blue}{P(A)}\color{green}{ P_A(B)}\) を用いて求めます。

まとめると、

• 「〜が起こったときに〜が起こる」のは、条件付確率 \(\color{green}{ P_A(B)}\)
• 「AとBが同時に起こる」のは、乗法定理 \(\color{gold}{P(A\cap B)}=\color{blue}{P(A)}\color{green}{ P_A(B)}\)

追加問題

(3) Bが当たる確率

(2)で確認した通り、Aの結果がBの状況を変えてしまうため、「Bが当たる確率」はAの結果に影響を受けます。

• Aが当たりを引いた場合：Bは「当たり3本・はずれ6本」の9本の中から引く。
• Aがはずれを引いた場合：Bは「当たり4本・はずれ5本」の9本の中から引く。

したがって、「Bが当たる確率」は \(P(B)&=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\) で表されます。

つまり、「A,Bの2人とも当たる確率」＋「Aがはずれ、Bが当たる確率」で求めます。

「A,Bの2人とも当たる確率」は (2) より

「Aがはずれ、Bが当たる確率」は

よって、「Bが当たる確率」は

(4) Bが当たっとき、Aも当たっている確率

「Bが当たったという条件のもとで、Aも当たっている確率」を求める問題です。

つまり、条件付確率 \(\color{purple}{ P_B(A)}\) を求めることになります。

しかし、Bが引くときのくじの状況は、Aの結果によって変わるため、
(1)のように直接「要素の個数」を数えることはできません。

そこで、確率÷確率 \(\displaystyle\color{purple}{P_B(A)}=\frac{\color{gold}{P(B\cap A)}}{\color{hotpink}{P(B)}}\) を使って求めます。

分母「Bが当たる確率」は、(3)より \(\displaystyle\color{hotpink}{P(B)}=\frac{2}{5}\)

分子「A,Bの2人とも当たる確率」は、(2)より \(\displaystyle\color{gold}{P(A\cap B)}=\frac{2}{15}\)

したがって、

まとめ：確率の乗法定理

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