微分法の応用02:「接点不明の接線の方程式」

高校教員の『さん』です！

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？

私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！

このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

「噛み砕き方」がわかれば、文章はぐっと読みやすくなります！

接点が分からない接線の方程式の作り方

接点が分からない接線の問題は、とにかくまず接点を文字でおくこと！！

接点 \((a,\:f(a))\) 、傾き \(f'(a)\) の接線の方程式は \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) です。

接点を自分で設定することで、接線の方程式が作れるようになります。

教科書の説明！

\(y=\log{x}\) を微分すると \(\displaystyle y’=\frac{1}{x}\)

ここで、接点の座標を\((a, \:\log{a})\)とすると、接線の方程式は \(\displaystyle y-\log{a}=\frac{1}{a}(x-a)\)

すなわち \(\displaystyle y=\frac{1}{a}x+\log{a}-1 \tag{①}\)

(1) 接線①の傾きが\(e\)であるから

\(\displaystyle\frac{1}{a}=e\) すなわち \(\displaystyle a=\frac{1}{e}\)

①に代入すると \(y=ex-1-1\) 整理して \(y=ex-2\)

(2) 接線①が原点 \((0, \:0)\)を通るから \(\displaystyle0=\frac{1}{a}\cdot 0+\log{a}-1\)

よって \(\log{a}\)=1 したがって \(a=e\)

①に代入すると \(\displaystyle y=\frac{1}{e}x\)

詳しく説明するよ！

接点が問題文に書かれていないときの、接点の求め方を説明していくよ。

今回扱う例題はこれ

接点を文字でおき、接線の方程式を作る

この例題では、接点の情報が書かれていないね。

こんなときは

「とにかくまず接点を文字でおく」

これを反射的にできるようにしよう。

接点を \((a,\;f(a))\) と設定すると、接線の方程式は

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

と作れるようになる。

次は、傾き\(f'(a)\)を考えよう。

例題で与えられてる関数は \(y=\log{x}\) だから、微分して

$$y’=\frac{1}{x}$$

接点 \((a,\;f(a)\) での傾きは \(\frac{1}{a}\) と分かるから、接線は

$$y=\frac{1}{a}(x-a)+\log{a}$$

とすることができる。

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条件から接点を求める

次は問題文の条件から自分で置いた接点の \(x\) 座標 \(a\) を求めていくよ。

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(1)の条件「傾きが \(e\)」から接点を考えていこう。

さっき求めた傾きは \(\displaystyle\frac{1}{a}\) だったね。

$$\displaystyle\frac{1}{a}=e$$

これを計算して

$$\displaystyle a=\frac{1}{e}$$

あとはこれを接線の方程式

$$y=\frac{1}{a}(x-a)+\log{a}$$

に代入すればいいから

「(1) 傾きが \(e\)」ときの接線は

$$\displaystyle y=e\left(x-\frac{1}{e}\right)+\log{\frac{1}{e}}$$

を計算して

$$\displaystyle y=ex-2$$

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次は(2)の条件「原点を通る」から接点を考えていこう。

接線が原点 \((0,\:0)\) を通るから、接線の方程式

$$y=\frac{1}{a}(x-a)+\log{\frac{1}{e}}$$

に代入して

$$0=\frac{1}{a}(0-a)+\log{\frac{1}{e}}$$

これを計算すると

$$\log{\frac{1}{e}}=1$$

となるから

$$a=e$$

あとはこれを接線の方程式

$$y=\frac{1}{a}(x-a)+\log{a}$$

に代入すればいいから

「(2) 原点を通る」ときの接線は

$$y=\frac{1}{e}(x-e)+\log{e}$$

を計算して

$$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$$

まとめ

今回のポイントを整理すると、次のようになるよ

• 接点 (\((a, f(a))\) での接線の方程式を \(y = f'(a)(x – a) + f(a)\) の形で表すことができる。
• 接点が与えられていない場合は、「まず接点を文字でおく」ことが大事。
• 問題文にある条件（傾きや通る点）から、接点の \(x\) 座標 \(a\) を求める。
• 接点の座標が求まったら、接線の方程式に代入して、具体的な式を得る。
• 計算ミスを防ぐために、各ステップを順番に確実に進めることが大切。

この流れをしっかり押さえて、どんな接線の問題にも対応できるようにしておこう！