導関数の応用01:「接線の方程式と法線の方程式」

高校教員の『さん』です！

この記事を見ると、「教科書の内容が分からない」から「教科書の言いたいことが分かる」ようになるよ。

教科書が読めるようになると、効率よく勉強が進められるようになって、問題集や参考書もスラスラ読めるようになる！

その力が、テストや受験に役立つ自信に変わるんだ。

生徒と関わる中で、気づいたことや学んだこと、そして生徒から寄せられた質問や、よくつまずくポイントを踏まえて、教科書の内容を噛み砕いて説明していくよ。

まずは、教科書の説明をみてみよう！

まずは教科書の説明！
簡単に説明するよ！
詳しく説明するよ！
1. 接線の方程式
2. 法線の方程式
最後に例題
まとめ

まずは教科書の説明！

関数 $y=f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとき、微分係数 $f'(a)$ は曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,\:f(a))$ における接線の傾きに等しい。

よって次のことが成り立つ。

曲線$y=f(x)$ 上の点 $(a,\:f(a))$ における接線の方程式は

$y-f(a)=f'(a)(x-a)$

曲線上の点Aを通り、Aにおけるこの曲線の接線と垂直な直線を、点Aにおけるこの曲線の法線という。

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,\:f(a))$ における法線の傾きは $f'(a) \neq 0$のとき、 $\displaystyle -\frac{1}{f'(a)}$ である。

また、 $f'(a)=0$ のときは、法線は$x$軸に垂直な直線である。

よって次のことが成り立つ。

曲線$y=f(x)$ 上の点 $(a,\:f(a))$ における法線の方程式は

$f'(a) \neq 0$のとき　$\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$

$f'(a) \neq 0$のとき　$x=a$

簡単に説明するよ！

点 $(a,\:f(a))$ を通る、傾き $m$ の直線の方程式は

$$y-f(a)=m(x-a)$$

点 $(a,\:f(a))$ 上の接線の傾きは $f'(a)$ なので、接線の方程式は

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

点 $(a,\:f(a))$ 上の法線の傾きは $-\frac{1}{f'(a)}$ なので、接線の方程式は

$$\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$$

さん

「法線が縦にまっすぐになるときは、$x=a$になるよ」

詳しく説明するよ！

接線の方程式

接線の方程式を作っていくよ。

まずは直線の方程式の復習から。

例題：点 $(\color{red}{2},\:\color{red}{4})$を通る傾き $\color{blue}{3}$ の直線の方程式を求めよ。

これは、 $y = \color{blue}{3}(x-\color{red}{2})+\color{red}{4}$ より、 $y = 3x-2$ ってすぐに求めることができるよね！

じゃあ次の例題。

例題：$y=x^2$ 上の点 $(\color{red}{2},\:\color{red}{4})$ を通る接線の方程式を求めよ。

さっきの例題は、直線の通る点と傾きが分かっていたけど、

今回の問題は、直線の通る点は分かるけど、傾きは分からない。

だから、傾きを求める必要があるんだ。

接線の傾きは、「関数を微分することで求めることができた」のは覚えているかな？

$y=x^2$ の接線の傾きは、$y’=2x$ この式を使って求めることができるんだった。

点 $(2,\:4)$ 上の接線の傾きは $2x$ に $2$ を代入した $\color{blue}{4}$ って求められるんだ。

ということで、$(\color{red}{2},\:\color{red}{4})$を通る、傾き $\color{blue}{4}$ の直線の方程式が、求めたい接線なので、

$y = \color{blue}{4}(x-\color{red}{2})+\color{red}{4}$ より、 $y = 4x-4$ って求めることができる！

一般化すると、$y=f(x)$ 上の点 $(\color{red}{a},\:\color{red}{f(a)})$ を通る、接線の方程式は

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

法線の方程式

法線っていうのは、接線と直交する直線のことなんだ。

例題：$y=x^2$ 上の点 $(\color{red}{2},\:\color{red}{4})$ を通る法線の方程式を求めよ。

この例題の接線の傾きは、$\color{blue}{4}$ だったね。

じゃあ、法線の傾きはどうなるかというと、

２つの直線が直交する条件「（傾き）×（傾き） $=-1$ 」を使って、

$$\color{blue}{\text{(接線の傾き)}}×\color{green}{\text{(接線の傾き)}} = -1$$

になればいいから、

$$\color{green}{\text{(法線の傾き)}} = -\frac{1}{\color{blue}{\text{(接線の傾き)}}}$$

なので、求めたい法線の傾きは

$$\color{green}{\text{(法線の傾き)}}= -\frac{1}{\color{blue}{4}}$$

よって法線の方程式は

$\displaystyle y = \color{green}{-\frac{1}{4}}(x-\color{red}{2})+\color{red}{4}$ より、 $\displaystyle y = -\frac{1}{4}x+\frac{9}{4}$ って求めることができる！

一般化すると、$y=f(x)$ 上の点 $(\color{red}{a},\:\color{red}{f(a)})$ を通る法線の方程式は

$$y-\frac{1}{f'(a)}(x-a)+f(a)$$

さん

「接線と法線の方程式って、一見ややこしそうに見えるけど、実は直線の方程式 $y = m(x-a) + b$ を使えばスッキリ整理できるんだ！傾きをどうやって求めるかを押さえれば、接線も法線も簡単に導けるよ。一緒にじっくり確認していこう！」

最後に例題

例題
(1) $\displaystyle y=\frac{4}{x}$ 上の点 $(-1,\:-4)$ における接線の方程式を求めよ。

(2) $y=\sin \theta$ 上の点 $\displaystyle\left(\frac{\pi}{6},\:\frac{1}{2}\right)$ における法線の方程式を求めよ。

(1) $\displaystyle y’=-\frac{4}{x^2}$ より接線の傾きは $\displaystyle -\frac{4}{(-1)^2}=-4$

よって求める接線の方程式は $y = -4(x +1)-4$ より $y = -4x – 8$

(2) $y’=\cos \theta$ より法線の傾きは $\displaystyle -\frac{1}{\cos\frac{\pi}{6}}=-\frac{2}{\sqrt{3}} $

よって求める法線の方程式は $\displaystyle y = -\frac{2}{\sqrt{3}}\left( x – \frac{\pi}{6} \right)+\frac{1}{2}$ より $\displaystyle y = -\frac{2}{\sqrt{3}}\left( x – \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{2}$

まとめ

今回のポイントを整理すると、次のようになるよ！

接線の方程式の基本形
点 $(a, f(a))$ を通り、接線の傾き $f'(a)$を用いると、接線の方程式は次のように表せる。
$y = f'(a)(x-a) + f(a)$
法線の方程式の基本形
接線と直交する直線（法線）の傾きは $\displaystyle -\frac{1}{f'(a)}$ となる。
したがって、法線の方程式は次のようになる。
$\displaystyle y – f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a)$
ただし、 $f'(a) = 0$ の場合、法線は $x=a$ となることに注意！
接線の求め方の流れ
1. 関数 $f(x)$ を微分して、傾きを求める。
2. 傾きと点を使って、接線の方程式を求める。
法線の求め方の流れ
1. 接線の傾きを求める（微分）。
2. 直交条件 $m_1 \cdot m_2 = -1$ から法線の傾きを求める。
3. 傾きと点を使って、法線の方程式を求める。