今日の板書はこれ！
\(a\) は定数とする。関数 \(y=x^2-2ax+a^2+1\) \((0\leq x\leq 2)\) の最小値を求めよ。
\(y = (x-a)^2 + 1\) と変形できるので，頂点は \((a, 1)\)，軸は \(x=a\)。
何が一定で何が変化するのかを意識する。区間が一定（\(0\leq x\leq 2\)）で関数の軸 \(x=a\) が変化する。
- ①最初に変化しないものを図示する。
- ②次に，変化するものを左から動かしていき，区間内での最大・最小を考える。
最大・最小をとるときの \(x\) の値が変わる瞬間に着目し，場合分けする。
状況の整理：何が固定で，何が変化するか？
まずは，問題文から「動かないもの」と「動くもの」を明確に区別します。
- 固定（不変）：区間 \(0 ≦ x ≦ 2\)
- 変化（変動）：関数の軸 \(x=a\)（\(a\) の値によって左右に移動）
つまり，区間の両端 \(x=0\) と \(x=2\) は固定されたまま，放物線の頂点（軸 \(x=a\)）だけが動いていく状況です。\(a\) は今回は任意の実数（正・０・負すべて含む）です。
手順①：変化しないものを図示する
まず，変化しないもの（区間 \(0≦ x≦ 2\)）を \(x\) 軸上に描いておきます。
手順②：変化するものを動かして場合分けする
次に，軸 \(x=a\) を左から右へ動かしていき，区間内での最小値がどう変わるかを考えます。
最小値をとる \(x\) の値が変わる瞬間（境界）に注目して場合分けします。
【ケース1】軸がx=0より左にあるとき（0<a）
軸 \(x=a\) が区間の左端 \(x=0\) より左にある場合，放物線は区間 \(0≦ x≦ 2\) の中に頂点を持ちません。
最小値をとるのは，軸に最も近い端点，すなわち \(x=0\) です。
最小値：\(x=0\) を代入して \(y = (0-a)^2+1 = a^2+1\)
【ケース2】軸が定義域内にあるとき（0≦a≦2）
軸 \(x=a\) が区間 \(0≦ x≦ 2\) の中にある場合，放物線の頂点が区間内に含まれます。
このとき，\(x=a\) で最小値をとります。
最小値：\(x=a\) を代入して \(y=(a-a)^2+1 = 1\)
\(a\) が \(0\) から \(2\) の範囲を動いても，頂点の高さは常に \(1\) です。
【ケース3】軸が定義域内にあるとき（a>2）
\(a>2\) になると，軸が区間の右端 \(x=2\) を超えます。
最小値をとるのは，軸に最も近い端点，すなわち \(x=2\) です。
最小値：\(x=2\) を代入して \(y=(2-a)^2+1 = a^2-4a+5\)
まとめ：解答の構成
これらをまとめると，以下のようになります。
\(a < 0\) のとき \(x=0\) で最小値 \(a^2+1\)
\(0 ≦ a ≦ 2\) のとき \(x=a\) で最小値 \(1\)
\(a > 2\) のとき \(x=2\) で最小値 \(a^2-4a+5\)
場合分けの境目である \(a=0\) と \(a=2\) は，どちらに含めても最小値は同じだよ！今回は \(0≦ a≦ 2\) の「以上・以下」の側に含めておこう！
\(x=a\) が区間の左端 \(x=0\) を超えるか，右端 \(x=2\) を超えるかで3パターンに場合分けするんですね！
まとめ：文字を含む2次関数の最大・最小②（区間固定で関数の軸が動く）
さて，今回のまとめだよ！
\(a\) は定数とする。関数 \(y=x^2-2ax+a^2+1\) \((0≦ x≦ 2)\) の最小値を求めよ。
何が一定で何が変化するのかを意識する。
- 一定：区間 \((0≦ x≦ 2)\)
- 変化：関数の軸 (\(x=a\))
- 最初に変化しないものを図示する。
- 次に，変化するものを左から動かしていき，区間内での最大・最小を考える。
- 最大・最小をとるときの \(x\) の値が変わる瞬間に着目し，場合分けする。
\(y=(x-a)^2+1\) より，軸は \(x=a\)
\(a < 0\) のとき 最小値 \(a^2+1\) （\(x=0\) のとき）
\(0 ≦ a ≦ 2\) のとき 最小値 \(1\) （\(x=a\) のとき）
\(a > 2\) のとき 最小値 \(a^2-4a+5\) （\(x=2\) のとき）
ありがとうございました！！
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