【数学Ⅰ】2次関数11：文字を含む2次関数の最大・最小③（関数固定で区間が一定幅で動く）

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

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でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

文字を含む2次関数の最大・最小③ とは？

動くものを見極める

問題文で 定数（パラメータ） が変化したときに「何が動いて、何が動かないのか」を最初に整理します。

今回の例「\(y=x^2-4x+5\) \((a\leq x\leq a+2)\)」では、関数の式に \(a\) は含まれていません。

動くのは 区間の両端 です。

しかも、区間の幅は \(a+2-a=2\) で常に一定。

\(a\) が変わると、区間がスライドして動くイメージです。

考え方の核心：関数を描いて、区間を動かす

放物線が下に凸のとき、最小値をとるのは「区間内で頂点に最も近い点」です。

区間がスライドすると、その「最も近い点」が 左端 → 頂点そのもの → 右端 と切り替わるので、ここで場合分けが必要になります。

例題：\(y=x^2-4x+5\) \((a\leq x\leq a+2)\) の最小値

ステップ1：関数を平方完成してグラフを描く

\(y=x^2-4x+5\) を平方完成すると、\(y=(x-2)^2+1\) です。

頂点 \((2,\,1)\)、下に凸の放物線。

これは 固定 なので、まずグラフを描いておきます。

ステップ2：区間を左から動かす

放物線の頂点は \(x=2\) に固定。

区間が頂点をまたぐかどうかで、最小をとる位置が変わります。

ステップ3：場合分けの境界を見つける

「区間内で頂点に最も近い \(x\) 」がどこかを考えると、境界は次の2つです。

・区間の 右端 \(a+2\) が頂点 \(x=2\) に重なる瞬間 → \(a+2=2\) より \(a=0\)

・区間の 左端 \(a\) が頂点 \(x=2\) に重なる瞬間 → \(a=2\)

これで \(a\) を \(a<0\)、\(0\leq a\leq 2\)、\(a>2\) の3つに分けて考えます。

[1] a < 0 のとき

区間 \([a,\,a+2]\) は頂点 \(x=2\) より左にあります（\(a+2<2\)）。

関数は区間内で 単調減少 なので、最小は右端 \(x=a+2\) でとります。

代入して、\(\color{red}{y=(a+2-2)^2+1=a^2+1}\)

[2] 0 ≤ a ≤ 2 のとき

区間内に頂点 \(x=2\) が含まれます（\(a\leq 2\leq a+2\)）。

最小は頂点で、\(x=2\) のとき \(\color{red}{y=1}\)

[3] a > 2 のとき

区間 \([a,\,a+2]\) は頂点 \(x=2\) より右にあります。

関数は区間内で 単調増加 なので、最小は左端 \(x=a\) でとります。

代入して、\(\color{red}{y=(a-2)^2+1=a^2-4a+5}\)

まとめる

以上を合わせて、最小値は

\(\begin{cases} a^2+1 & (a<0) \\ 1 & (0\leq a\leq 2) \\ a^2-4a+5 & (a>2) \end{cases}\)

まとめ：関数固定で区間が一定幅で動く