今日の板書はこれ！
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を解く方法は大きく3通りあります。
① 平方完成して平方根の定義を利用する。
\((x-P)^2=Q\)（\(Q>0\)）のとき \(x-P=\pm\sqrt{Q}\) よって \(x=P\pm\sqrt{Q}\)
② 因数分解して \(AB=0\Leftrightarrow A=0\) または \(B=0\) を利用する。
③ 解の公式を利用する（\(b^2-4ac\geq 0\) とする）。
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) 特に \(b=2b’\) のとき \(x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\)
2次方程式 \((x-1)^2=4\) を解け。
▼ 解答
【方法①】 \(x-1=\pm 2\) よって \(\color{red}{x=3,-1}\)
【方法②】 展開・整理すると \(x^2-2x-3=0\) → \((x-3)(x+1)=0\) よって \(\color{red}{x=3,-1}\)
【方法③】 \(b=-2\) より \(b’=-1\) \(x=\frac{1\pm\sqrt{4}}{1}=1\pm 2=\color{red}{3,-1}\)
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現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
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2次方程式の3つの解き方とは？
2次方程式は中学でも習いましたね。高校では「平方根を使う方法」「因数分解を使う方法」「解の公式を使う方法」の3通りを、問題の形に合わせて使い分けることが大切です！
3つも！どんな基準で選ぶんですか？
式の形を見れば分かりますよ。\((x-1)^2=4\) のような「完全平方式＝数」の形は方法①、\(x^2-5x+6=0\) のように因数分解できそうなら方法②、それ以外は迷わず方法③の解の公式を使えばOKです！
どの方法で解いても正しい答えが得られます。
しかし問題の形によって計算量が大きく違うため、使い分けを意識することが大切です。
① 平方根を使う方法
「2乗してQになる数は ±√Q」という平方根の定義をそのまま使う方法です。
\(Q>0\) のとき、\((x-P)^2=Q\) ならば \(x-P=\pm\sqrt{Q}\)、よって \(x=P\pm\sqrt{Q}\) となります。
この方法は、式がすでに「完全平方式＝正の数」の形になっているか、そう変形しやすい場合に特に有効です。
② 因数分解を使う方法
左辺を因数分解して \(AB=0\) の形にできたら、\(AB=0\) の原理を使いましょう！
\(AB=0\) が成り立つとき、\(A=0\) または \(B=0\) が成り立ちます。
これは「積が 0 になるには、少なくとも一方の因数が 0 でなければならない」という原理です。
AもBも 0 でなければ積は必ず 0 になりません。
逆に、積が 0 になるためにはどちらか（または両方）が 0 でなければならない、ということですね。
③ 解の公式を使う方法
どんな2次方程式でも確実に解ける最強の公式があります。覚えておけばどんな問題も解けるので安心ですよ！
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq 0\)、\(b^2-4ac\geq 0\)）の解の公式：
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
また、\(b\) が偶数で \(b=2b’\) と書けるとき、次の省エネ公式が使えます。
\(x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\)
省エネ公式はなぜ成り立つんですか？
\(b=2b’\) を通常の解の公式に代入すると分母・分子の 2 が約分できて \(x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\) になるんです。\(b\) が偶数のときは積極的に使っていきましょう！
例題：(x-1)² = 4 を3通りの方法で解く
2次方程式 \((x-1)^2=4\) を3通りの方法で解け。
方法① 平方根を使う
\((x-P)^2=Q\) の形そのものなので、すぐ解けますね！
\(x-1=\pm 2\) より、\(\color{red}{x=3}\) または \(\color{red}{x=-1}\) です。
方法② 因数分解を使う
\((x-1)^2=4\) を展開すると \(x^2-2x+1=4\) となります。
整理すると \(x^2-2x-3=0\)。
左辺を因数分解すると \((x-3)(x+1)=0\)。
\(AB=0\Leftrightarrow A=0\) または \(B=0\) より、\(\color{red}{x=3}\) または \(\color{red}{x=-1}\) です。
方法③ 解の公式を使う
\(x^2-2x-3=0\) に \(a=1, b=-2, c=-3\) を代入します。\(b=-2\) は偶数なので \(b’=-1\) として省エネ公式も使えますよ！
通常の解の公式：\(x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}=\color{red}{3,-1}\) となります。
省エネ公式（\(b’=-1\) として）：\(x=\frac{1\pm\sqrt{1+3}}{1}=1\pm 2=\color{red}{3,-1}\) です。
補足：解の公式の証明
「解の公式はどこから来るの？」という疑問に答えましょう。証明のカギは平方完成です！
\(ax^2+bx+c=0\) を平方完成すると \(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}\) となります。
両辺を \(a\) で割ると \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)。
\(b^2-4ac\geq 0\) のとき平方根をとると \(x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) となります。
よって \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) を得ます。
これが解の公式です。
証明できました！平方完成がカギなんですね。
そうですよ。\(b=2b’\) のときの省エネ公式も同じ手順で導けますので、ぜひ自分でも確かめてみてください！
まとめ：2次方程式の解法
さて、今回のまとめです！
① \((x-P)^2=Q\)（\(Q>0\)）の形 → 平方根をとる \(x=P\pm\sqrt{Q}\)
② 左辺が因数分解できる形 → \(AB=0\Leftrightarrow A=0\) または \(B=0\)
③ それ以外 → 解の公式 \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
※ \(b=2b’\) のとき省エネ公式 \(x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\) が使えます
また一つ賢くなった！
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