【高校数学Ⅰ】「2次方程式と2次不等式」まとめページ｜定義・公式を分かりやすく完全解説

① \((x-P)^2=Q\)（\(Q>0\)）の形 → 平方根をとる　\(x=P\pm\sqrt{Q}\)

② 左辺が因数分解できる形 → \(AB=0\Leftrightarrow A=0\) または \(B=0\)

③ それ以外 → 解の公式　\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

　　※ \(b=2b’\) のとき省エネ公式　\(x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\) が使える

2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の実数解の個数は、判別式 \(D=b^2-4ac\) の符号で決まる！

・\(\color{red}{D>0}\) … 異なる2つの実数解

・\(\color{red}{D=0}\) … 重解（\(x=-\frac{b}{2a}\)）

・\(\color{red}{D<0}\) … 実数解なし

2次関数のグラフとx軸の共有点の個数 ＝ ax²+bx+c=0 の実数解の個数

判別式 \(D=b^2-4ac\) で場合分け：

・\(\color{red}{D>0}\) … 異なる2点で交わる

・\(\color{red}{D=0}\) … 接する（共有点1個）

・\(\color{red}{D<0}\) … 共有点なし

2次関数とx軸の位置関係として図形的にとらえることによって解ける。

解き方の手順は次の通り。

① 2次の係数が負なら、両辺に \(-1\) をかけて正にする（不等号の向きが反転）。

② 因数分解できれば \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標が分かる。できないときは解の公式を使う。

③ グラフを描いて、\(y\) が条件を満たす（正・負・0以上・0以下）\(x\) の範囲を答える。

④ 因数分解も解の公式も「実数解」を持たないとき（判別式 \(D<0\)）はグラフが \(x\) 軸と交わらないので、平方完成や判別式で \(y\) の符号を判定する。

絶対値の定義：中身が \(0\) 以上ならそのまま、負ならば \(-\) をつけてはずす。

場合分け

・\(f(x) \geq 0\) のとき　\(y = f(x)\)

・\(f(x) < 0\) のとき　\(y = -f(x)\)

図形的な意味：\(y=f(x)\) のグラフの「\(x\) 軸より下の部分」を、\(x\) 軸に関して対称移動して上側に折り返したものが \(y=|f(x)|\) のグラフ。

連立不等式は \(\color{red}{それぞれを解いて共通範囲を取る}\) のが基本。

共通範囲は \(\color{deepskyblue}{数直線}\) を使って視覚的に求めると確実。

\(A<B<C\) 型は \(\left\{\begin{array}{l} A<B \\ B<C \end{array}\right.\) に分けて考える。

2次不等式 \(ax^2+bx+c>0\) や \(ax^2+bx+c<0\) の解が「すべての実数」あるいは「なし」となる条件は、グラフが \(x\) 軸とどう交わるか をイメージして判別式で考える。

・ 「常に \(>0\)」 \(\Leftrightarrow\) 下に凸（\(a>0\)）かつ 頂点が \(x\) 軸より上（\(D<0\)）

・ 「常に \(<0\)」 \(\Leftrightarrow\) 上に凸（\(a<0\)）かつ 頂点が \(x\) 軸より下（\(D<0\)）

共通するのは \(D<0\)（\(x\) 軸と交わらない）という条件。

2次方程式の解の配置を考えるときは、グラフを描いて、次の3点を整理する。

① 判別式 \(D\) の符号（解の個数を決める）

② 軸の位置（どの範囲に頂点が来るか）

③ 区間の端 \(f(\alpha),\ f(\beta)\) の符号

ただし、区間の端の符号で必ず2点で交わると分かる場合（例：\(f(0)<0\)）は、①②は不要。図を描いて判断する。