今日の板書はこれ！
連立不等式とは、いくつかの不等式を同時に成り立たせる値の範囲を求める問題。
それぞれの不等式を解いて、解の 共通範囲 を答えるのが基本！
次の連立不等式を解け。 \(\begin{cases} x^2-4>0 \\ x^2-3x-4 \leq 0 \end{cases}\)
▼ 解答
\(x^2-4>0\) より \((x+2)(x-2)>0\) よって \(x<-2,\ 2<x\) … ①
\(x^2-3x-4 \leq 0\) より \((x-4)(x+1) \leq 0\) よって \(-1 \leq x \leq 4\) … ②
① と ② の共通範囲は \(\color{red}{2<x \leq 4}\)
次の不等式を解け。 \(7x-18 \leq 2x-3 < -2x+1\)
▼ 解答
\(7x-18 \leq 2x-3\) より \(5x \leq 15\) よって \(x \leq 3\) … ①
\(2x-3 < -2x+1\) より \(4x < 4\) よって \(x < 1\) … ②
① と ② の共通範囲は x < 1
※ \(A<B<C\) のような不等式は \(\begin{cases} A<B \\ B<C \end{cases}\) と考える！
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
連立不等式とは？
「連立」というと、中学校で「連立方程式」を勉強したよね！
はい、\(2x+y=5\) と \(x-y=1\) みたいに、2つの式を同時に成り立たせる \((x,y)\) を求めるやつですね。
そう！ 「連立不等式」も同じイメージで、複数の不等式を同時に成り立たせる範囲 を求める問題なんだ。
連立不等式とは、いくつかの不等式を組み合わせて、それらを同時に成り立たせる未知数の範囲を求める問題です。
それぞれの不等式を別々に解いてから、得られた解の 共通範囲 を答えとして取り出すのが基本の流れです。
解き方の手順
連立不等式を解く流れは、次の3ステップ。
① それぞれの不等式を別々に解く
② 解を数直線に書き込む
③ 重なっている部分（共通範囲）を読み取る
数直線を書くのがコツ！ 頭の中だけで考えると、不等号の向きで混乱しやすいから、必ず図にしようね。
例題1：2次不等式の連立
次の連立不等式を解け。 \(\begin{cases} x^2-4>0 \\ x^2-3x-4 \leq 0 \end{cases}\)
考え方
2次不等式の連立だよ。それぞれの不等式を解いて、最後に共通範囲を取ろう。
2次不等式の解き方は、前回の「2次不等式の解法」で学んだ方法そのまま。
因数分解して、グラフや符号変化で解を読み取ります。
① 1つ目の不等式を解く
\(x^2-4 > 0\) の左辺を因数分解すると \((x+2)(x-2) > 0\)。
これは \(y=(x+2)(x-2)\) のグラフが x軸より上 になる範囲なので、解は \(\color{red}{x < -2,\ 2 < x}\) … ①
境界の -2 と 2 は不等号が > なので含まないんですね。
② 2つ目の不等式を解く
\(x^2-3x-4 \leq 0\) の左辺を因数分解すると \((x-4)(x+1) \leq 0\)。
これは \(y=(x-4)(x+1)\) のグラフが x軸より下（または x 軸上）になる範囲なので、解は \(\color{deepskyblue}{-1 \leq x \leq 4}\) … ②
こっちは \(\leq\) なので、境界の -1 と 4 は含むよ。
③ 共通範囲を求める
① の \(x < -2,\ 2 < x\) と、② の \(-1 \leq x \leq 4\) を数直線に書いて、両方が重なる部分を探します。
① と ② の 両方を満たす のは \(2 < x \leq 4\) の部分です。
左側の \(x < -2\) は ② の範囲に入っていないから消えるんですね。
よって答えは \(\color{red}{2 < x \leq 4}\) です。
例題2：A<B<C 型の不等式
次の不等式を解け。 \(7x-18 \leq 2x-3 < -2x+1\)
考え方：3つの式が並ぶ不等式の処理
あれ？ これは \(A=7x-18\)、\(B=2x-3\)、\(C=-2x+1\) が \(A \leq B < C\) みたいに並んでますね。どう解くんですか？
こういう「\(A < B < C\) 型」の不等式は、2つの不等式に分けて連立 すればいいんだよ。
\(7x-18 \leq 2x-3 < -2x+1\) は \(\begin{cases} 7x-18 \leq 2x-3 \\ 2x-3 < -2x+1 \end{cases}\) と書き直せます。
真ん中の \(2x-3\) が両方の不等式に登場することがポイント。
これで普通の連立不等式と同じように解けます。
① 左側の不等式を解く
\(7x-18 \leq 2x-3\) の両辺から 2x を引いて、-18 を移項すると \(5x \leq 15\)。
両辺を 5 で割って \(\color{red}{x \leq 3}\) … ①
② 右側の不等式を解く
\(2x-3 < -2x+1\) の両辺に 2x を足し、-3 を移項すると \(4x < 4\)。
両辺を 4 で割って x < 1 … ②
③ 共通範囲を求める
① の \(x \leq 3\) と ② の \(x < 1\) を数直線に書いて、重なる部分を読み取ります。
両方を満たすのは \(x < 1\) の範囲のみ。
① の \(x \leq 3\) は ② の \(x < 1\) を完全に含んでしまうから、② の範囲がそのまま答えになるね。
よって答えは x < 1 です。
共通範囲を取るときの注意点
等号の有無を見落とさない
共通範囲を取るときは、境界の値を含むかどうか を最後まで確認しよう。
\(\leq\) と \(<\) では、境界点を含むか含まないかで答えが変わります。
数直線では、境界を ●（黒丸）で含む、○（白丸）で含まない を書き分けると、共通範囲の境界が分かりやすくなります。
共通範囲が「ない」場合もある
もし \(x > 5\) と \(x < 3\) みたいに重ならない場合は？
その場合は答えは「解なし」になるよ。「共通範囲が存在しない＝解なし」と書くんだ。
解なしになるパターンもあるので、数直線で重なりがないことが確認できたら、「解なし」と答える練習も忘れずにやっておきましょう。
まとめ：連立不等式
さて、今回のまとめだよ！
連立不等式は それぞれを解いて共通範囲を取る のが基本。
共通範囲は 数直線 を使って視覚的に求めると確実。
\(A<B<C\) 型は \(\begin{cases} A<B \\ B<C \end{cases}\) に分けて考える。
また一つ賢くなった！
↑前の記事↑
（次の記事は準備中）
コメント