今日の板書はこれ！
2次関数とx軸の位置関係として図形的にとらえることによって解ける。
次の不等式を解け：\(2x-6<0\)
▼ 解答
\(2x-6<0\)
\(\Leftrightarrow 2x<6\)
\(\Leftrightarrow \color{red}{x<3}\)
次の不等式を解け：\(x^2-6x+9 \geq 0\)
▼ 解答
\(x^2-6x+9 \geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)^2 \geq 0\)
よって、\(\color{red}{\text{すべての実数}}\)
次の不等式を解け：\(-x^2+4x+1 \leq 0\)
▼ 解答
\(-x^2+4x+1 \leq 0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x-1 \geq 0\)
\(x^2-4x-1=0\) とすると、\(x=2 \pm \sqrt{5}\)
よって、\(\color{red}{x \leq 2-\sqrt{5},\ 2+\sqrt{5} \leq x}\)
次の不等式を解け：\(x^2-6x+10>0\)
▼ 解答
\(x^2-6x+10>0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)^2+1>0\)
よって、\(\color{red}{\text{すべての実数}}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
2次不等式の解法とは？
2次不等式は、2次関数のグラフが \(x\) 軸より上にあるか下にあるかを読み取る問題なんだ。
えっ、不等式なのにグラフで考えるんですか？
そう！前回の記事「2次関数と \(x\) 軸の位置関係」で、グラフと \(x\) 軸の交点（つまり \(y=0\) になる \(x\) ）を求めたよね。あれを応用するんだ。
「不等号 > 」は y が正、「不等号 < 」は y が負
たとえば \(x^2-3x+2>0\) を解くというのは、「\(y=x^2-3x+2\) が正になる \(x\) の範囲を求めなさい」と同じことなんです。
グラフでいうと、放物線が \(x\) 軸よりも上にある \(x\) の範囲ということです。
逆に \(<0\) なら \(x\) 軸よりも下、\(\geq 0\) なら \(x\) 軸より上または接している、\(\leq 0\) なら \(x\) 軸より下または接している、です。
「不等号の向き」と「グラフの上下」を結びつければ、もう怖くないよ。
例題1：1次不等式から思い出してみよう
次の不等式を解け：\(2x-6<0\)
考え方
まずは 1次不等式のおさらい。「2次から急に難しくなった」と感じる人が多いから、まずは1次で同じ考え方を確認するよ。
「\(2x-6<0\) を解け」というのは、「\(y=2x-6\) が負になる \(x\) の範囲を求めなさい」ということ。
\(y=2x-6\) は右上がりの直線で、\(x\) 軸との交点は \(y=0\) になる \(x\)、つまり \(x=3\) です。
直線が \(x\) 軸よりも下にあるのは \(x=3\) より左側、つまり \(x<3\) のときですね。
解答
もちろん、移項して整理する形でも解けます。
\(2x-6<0\)
\(\Leftrightarrow 2x<6\)
\(\Leftrightarrow \color{red}{x<3}\)
1次のときは「移項するだけ」で解けたから、グラフは意識してませんでした！
2次になるとグラフの形がカーブするから、「どこからどこまでが \(x\) 軸より上か」を読み取らないと答えが出せないんだ。次の例題でそれを見ていこう。
例題2：x軸に接する場合（重解）
次の不等式を解け：\(x^2-6x+9 \geq 0\)
考え方
左辺を因数分解してみよう。\(x^2-6x+9 = (x-3)^2\) になるね。
\((x-3)^2\) は「2乗」だから、\(x\) にどんな実数を入れても \(0\) 以上です。
つまり \(y=(x-3)^2\) のグラフは、頂点 \((3,0)\) で \(x\) 軸に接していて、それ以外はすべて \(x\) 軸より上にあります。
「\(\geq 0\)」（0以上）を満たす \(x\) を求めるので、\(x\) 軸より上 + \(x\) 軸上の点、両方OKです。
グラフをよく見ると、\(x\) がどんな値でも条件を満たしていますね。
解答
\(x^2-6x+9 \geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)^2 \geq 0\)
\((x-3)^2\) は常に \(0\) 以上だから、解は \(\color{red}{\text{すべての実数}}\)。
不等号が変わったらどうなる？
同じ \(x^2-6x+9\) でも、不等号の種類で答えがガラッと変わるよ。表にまとめておこう。
・\(x^2-6x+9 \geq 0\) … \(\color{red}{\text{すべての実数}}\)
・\(x^2-6x+9 > 0\) … \(\color{red}{x=3 \text{以外のすべての実数}}\)（接点だけが \(y=0\) なので「\(>0\)」には含まれない）
・\(x^2-6x+9 < 0\) … \(\color{red}{\text{解なし}}\)（\(y\) が負になることがない）
・\(x^2-6x+9 \leq 0\) … \(\color{red}{x=3}\)（接点だけが \(y=0\) で条件を満たす）
1問の中に4パターンが詰まってますね。「等号を含むか」と「以上 / より大」で答えが全然違う……
そう。接する形はトラップが多いから、必ずグラフを描いて確認するクセをつけよう。
例題3：2次の係数が負のとき
次の不等式を解け：\(-x^2+4x+1 \leq 0\)
考え方
まず、2次の係数が \(-1\) で負だね。このままだと「下に開く放物線」になって、考えるのが少しややこしい。
そういうときは、両辺に \(-1\) をかけて2次の係数を正に直します。
ただし、両辺に負の数をかけると、不等号の向きが反転することを忘れずに！
\(-x^2+4x+1 \leq 0\)
両辺に \(-1\) をかけて
\(x^2-4x-1 \color{red}{\geq} 0\) （不等号が反転）
これで「\(y=x^2-4x-1\) が \(0\) 以上になる \(x\) の範囲」を求める問題になりました。
解いてみよう
\(x^2-4x-1\) は整数の範囲で因数分解できません。
こういうときは 解の公式 を使って、\(x\) 軸との交点を求めます。
\(x^2-4x-1=0\) を解の公式で解くと
\(x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}\)
つまり \(y=x^2-4x-1\) のグラフは、\(x=2-\sqrt{5}\) と \(x=2+\sqrt{5}\) で \(x\) 軸と交わる「上に開く放物線」です。
「\(y \geq 0\)」を満たすのは、グラフが \(x\) 軸より上または \(x\) 軸上にある \(x\)。
これは交点の 外側 ですね。
解答
\(\color{red}{x \leq 2-\sqrt{5},\ 2+\sqrt{5} \leq x}\)
因数分解できないときも解の公式があれば、グラフの交点が分かるんですね！
そう。「2次不等式 → 解の公式」のコンボはよく使うから、解の公式は必ずスラスラ書けるようにしておこう。
例題4：x軸と交わらない場合（D < 0）
次の不等式を解け：\(x^2-6x+10 > 0\)
考え方
まず、\(x^2-6x+10\) を因数分解しようとしても、整数では分解できないね。試しに判別式 \(D\) を計算してみよう。
\(D=(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 10 = 36-40 = -4\)
\(D<0\) なので、\(x^2-6x+10=0\) は実数解を持ちません。
つまり \(y=x^2-6x+10\) のグラフは、\(x\) 軸と 交わらない 上に開く放物線です。
グラフが \(x\) 軸と一切交わらず、しかも「上に開く」なら、\(y\) は常に正です。
だから「\(y>0\)」はすべての \(x\) で成り立ちます。
平方完成で確かめる
「グラフが常に正」をもう少し納得したい人は、平方完成してみよう。
\(x^2-6x+10 = (x-3)^2 -9 +10 = (x-3)^2+1\)
\((x-3)^2\) は \(0\) 以上なので、それに \(1\) を足した \((x-3)^2+1\) は必ず \(1\) 以上、つまり常に正です。
だから \(x^2-6x+10>0\) はすべての実数で成り立ちます。
解答
\(x^2-6x+10 = (x-3)^2+1 > 0\) は常に成り立つので、解は \(\color{red}{\text{すべての実数}}\)。
因数分解できないときは「判別式」か「平方完成」で確認すればいいんですね。
そう。グラフが \(x\) 軸と交わるかどうかを最初に確認する習慣をつけよう。\(D\) の符号でグラフの形が3パターンに分かれるよ。
・\(D>0\)：\(x\) 軸と 2点で交わる。交点の \(x\) 座標は解の公式で求める。
・\(D=0\)：\(x\) 軸に 接する（重解）。例題2のパターン。
・\(D<0\)：\(x\) 軸と 交わらない。例題4のパターン。\(y\) は常に正。
まとめ：2次不等式の解法
さて、今回のまとめだよ！
2次関数とx軸の位置関係として図形的にとらえることによって解ける。
解き方の手順は次の通り。
① 2次の係数が負なら、両辺に \(-1\) をかけて正にする（不等号の向きが反転）。
② 因数分解できれば \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標が分かる。できないときは解の公式を使う。
③ グラフを描いて、\(y\) が条件を満たす（正・負・0以上・0以下）\(x\) の範囲を答える。
④ 因数分解も解の公式も「実数解」を持たないとき（判別式 \(D<0\)）はグラフが \(x\) 軸と交わらないので、平方完成や判別式で \(y\) の符号を判定する。
「グラフを描いて \(x\) 軸との位置関係を読む」ことが共通の考え方なんですね！
そう。式変形だけで解こうとすると場合分けでパニックになるけど、グラフを1枚描けば一目瞭然。これからは 必ずグラフを描く ようにしよう。
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