今日の板書はこれ！
\(a>0,\ a\neq1\) のとき、\(y=a^x\) を \(a\) を底とする指数関数という。
① 定義域は実数全体、値域は \(y>0\)（\(y\) が0以下になることはない）。
② \(a>1\) のとき単調増加、\(0<a<1\) のとき単調減少。
③ グラフは必ず点 \((0,\ 1)\) を通り、\(x\) 軸が漸近線になる。
もっと詳しくお願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。
指数関数のグラフのかき方
例えば \(y=2^x\) のグラフって、どんな形になると思う？まずは実際にかいてみよう。
関数 \(y=2^x\) のグラフをかけ。
指数関数のグラフって、どこから手をつければいいんですか？
グラフをかくのに必要な「指数関数の特徴」を、順番に見ていこう。
指数関数とは？グラフを決める3つの特徴
① 指数関数の定義：a を底とする関数
まず「指数関数」がどんな関数なのか、確認しておこう。
\(a>0,\ a\neq1\) のとき、\(y=a^x\) を \(a\) を底とする \(x\) の指数関数 といいます。
底 \(a\) には \(a>0,\ a\neq1\) という条件がつきます。
なぜ \(a>0\) が必要かというと、もし底が負の数だと、例えば \(a=-2\) のとき \((-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}\) となり、指数が分数のときに値が定まらなくなるからです。
また \(a=1\) のときは \(y=1^x=1\) となって、\(x\) がどんな値でも \(y\) は1のまま。
これでは関数として意味がないので、\(a\neq1\) とします。
（指数が分数や負の数のときの計算は、有理数の指数の記事でくわしく解説しています。）
② 定義域・値域と、単調増加・単調減少
次に、グラフの形を決める大事な性質だよ。
指数関数 \(y=a^x\) の定義域は 実数全体で、値域は \(y>0\) です。
つまり \(y\) の値が0や負になることはありません。
また、底 \(a\) の大きさで増え方・減り方が変わります。
\(a>1\) のときは単調増加（右上がり）、
\(0<a<1\) のときは単調減少（右下がり）のグラフになります。
③ 必ず点(0,1)を通り、x軸が漸近線
どんな指数関数にも共通する、2つの目印があるよ。
どんな指数関数も、\(x=0\) のとき \(y=a^0=1\) になるので、グラフは必ず点 \((0,\ 1)\) を通ります。
さらに、\(x\) 軸（直線 \(y=0\)）に限りなく近づきますが、決して交わりません。
この \(x\) 軸を、グラフの 漸近線 といいます。
実際に y=2ˣ のグラフをかいてみよう
さっきの3つの特徴を使って、\(y=2^x\) のグラフをかいていくよ。
関数 \(y=2^x\) のグラフをかけ。
まず、いくつかの \(x\) の値に対する \(y\) の値を計算して、表にまとめます。
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=2^x\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
次に、これらの点 \(\left(-2,\ \frac{1}{4}\right),\ \left(-1,\ \frac{1}{2}\right),\ (0,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 4)\) を座標平面にとり、なめらかな曲線で結びます。
底は \(2>1\) なので、グラフは 単調増加。
点 \((0,\ 1)\) を通り、\(x\) 軸を漸近線とする右上がりの曲線になります（形は特徴②で見た \(a>1\) のグラフと同じです）。
①②③の特徴どおりの形になった！
練習問題
次の表は、指数関数 \(y=2^x\) における \(x\) と \(y\) の対応表です。空らんをうめよ。
| \(x\) | \(-2\) | \(-1.5\) | \(-1\) | \(-0.5\) | \(0\) | \(0.5\) | \(1\) | \(1.5\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0.25\) | ？ | ？ | ？ | ？ | ？ | \(2\) | \(2.83\) | \(4\) |
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負の指数は逆数、\(0.5\) 乗（＝\(\frac{1}{2}\) 乗）は平方根で計算します。例えば \(2^{-1}=\frac{1}{2}=0.5\)、\(2^{0.5}=\sqrt{2}≒1.41\)。
答えを見る
\(2^{-1.5}=\frac{1}{2\sqrt{2}}≒0.35\)
\(2^{-1}=0.5\)
\(2^{-0.5}=\frac{1}{\sqrt{2}}≒0.71\)
\(2^{0}=1\)
\(2^{0.5}=\sqrt{2}≒1.41\)
よって空らんは順に \(0.35,\ 0.5,\ 0.71,\ 1,\ 1.41\)。
次の関数のグラフをかけ。
(1) \(y=3^x\) (2) \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^x\)
ヒントを見る
底 \(a\) が1より大きいか小さいかで、単調増加か単調減少かが決まります。どちらのグラフも点 \((0,\ 1)\) を通ります。
答えを見る
(1) \(y=3^x\) は底 \(3>1\) なので単調増加。点 \((0,\ 1)\) を通り、\(x\) 軸が漸近線の右上がりの曲線。
(2) \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^x\) は底が \(0<\frac{1}{3}<1\) なので単調減少。点 \((0,\ 1)\) を通り、\(x\) 軸が漸近線の右下がりの曲線。
なお \(\left(\frac{1}{3}\right)^x=3^{-x}\) なので、(2)は(1)を \(y\) 軸に関して対称に折り返したグラフになります。
練習2(1)の \(y=3^x\) のグラフと、\(y=2^x\) のグラフを同じ座標平面にかき、どのような位置関係にあるか説明せよ。
ヒントを見る
どちらも \(a>1\) の単調増加のグラフで、点 \((0,\ 1)\) を通ります。\(x=1\) のときの \(y\) の値を比べてみましょう。
答えを見る
どちらも点 \((0,\ 1)\) を通る単調増加のグラフです。
\(x>0\) では \(3^x>2^x\) となり \(y=3^x\) が上側、
\(x<0\) では \(3^x<2^x\) となり \(y=3^x\) が下側にきます。
つまり2つのグラフは点 \((0,\ 1)\) で交わり、\(x>0\) では底の大きい \(y=3^x\) の方が急に増加します。
まとめ：指数関数のグラフ
さて、今回のまとめだよ！
\(a>0,\ a\neq1\) のとき \(y=a^x\) は \(a\) を底とする指数関数。
① 定義域は実数全体、値域は \(y>0\)。
② \(a>1\) で単調増加、\(0<a<1\) で単調減少。
③ 必ず点 \((0,\ 1)\) を通り、\(x\) 軸が漸近線。
また一つ賢くなった！
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