今日の板書はこれ！
加法定理の \(\beta\) を \(\alpha\) に置きかえると、角が2倍になったときの公式が作れる。
① \(\sin 2\alpha = \color{#ff0000}{2\sin\alpha\cos\alpha}\)
② \(\cos 2\alpha = \color{#ff0000}{\cos^2\alpha – \sin^2\alpha}\)
\(\phantom{\cos 2\alpha} = \color{#ff0000}{1 – 2\sin^2\alpha}\)
\(\phantom{\cos 2\alpha} = \color{#ff0000}{2\cos^2\alpha – 1}\)
③ \(\tan 2\alpha = \color{#ff0000}{\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}\)
\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) で \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) のとき、\(\sin 2\alpha\) を求めよ。
▼ 解答
\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) より \(\color{#1565c0}{\cos\alpha>0}\) であるから
\(\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}\)
よって \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)
\(\phantom{\sin 2\alpha} = 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5} = \color{#ff0000}{\frac{24}{25}}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。
角を2倍にした三角比を求めてみよう
例えば、\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) で \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) と分かっているとき、角を2倍にした \(\sin 2\alpha\) の値はいくつになるだろう？
\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) で \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) のとき、\(\sin 2\alpha\) を求めよ。
これ、どうやって解くんですか？
角を2倍にした三角比は、専用の公式を使うと求められるんだ。まずはその公式を、順番に見ていこう。
2倍角の公式（sin・cos・tan）
2倍角の公式は、実は加法定理から作れるんだ。\(\beta\) を \(\alpha\) に置きかえるだけだよ。
① sin の2倍角
加法定理 \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) の \(\beta\) を \(\alpha\) にすると…
\(\color{#1565c0}{\sin 2\alpha = \sin(\alpha+\alpha)}\)
\(\phantom{\sin 2\alpha} \color{#1565c0}{= \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha}\)
\(\phantom{\sin 2\alpha} = \color{#ff0000}{2\sin\alpha\cos\alpha}\)
同じ項が2つ出てくるので、まとめると \(2\sin\alpha\cos\alpha\) になります。
② cos の2倍角
cos も同じように \(\cos(\alpha+\alpha)\) を展開するよ。
\(\color{#1565c0}{\cos 2\alpha = \cos(\alpha+\alpha)}\)
\(\phantom{\cos 2\alpha} \color{#1565c0}{= \cos\alpha\cos\alpha – \sin\alpha\sin\alpha}\)
\(\phantom{\cos 2\alpha} = \color{#ff0000}{\cos^2\alpha – \sin^2\alpha}\)
さらに \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) を使うと、形を2通りに変えられます。
\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha – \sin^2\alpha\)
\(\phantom{\cos 2\alpha} = \color{#ff0000}{1 – 2\sin^2\alpha}\)
\(\phantom{\cos 2\alpha} = \color{#ff0000}{2\cos^2\alpha – 1}\)
問題で \(\sin\alpha\) だけ分かっているなら \(\color{#ff0000}{1-2\sin^2\alpha}\)、\(\cos\alpha\) だけなら \(\color{#ff0000}{2\cos^2\alpha-1}\) を使うと計算がラクになります。
③ tan の2倍角
tan は加法定理 \(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\) から。
\(\color{#1565c0}{\tan 2\alpha = \tan(\alpha+\alpha)}\)
\(\phantom{\tan 2\alpha} \color{#1565c0}{= \frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha}}\)
\(\phantom{\tan 2\alpha} = \color{#ff0000}{\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}\)
実際に解いてみよう
じゃあ、さっきの問題を sin の2倍角の公式で解いてみよう。
\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) で \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) のとき、\(\sin 2\alpha\) を求めよ。
① まず \(\cos\alpha\) を求めます。
\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\)（第1象限）だから \(\color{#1565c0}{\cos\alpha>0}\)。
相互関係 \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) より
\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}\)
\(\phantom{\cos\alpha} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\)
② 2倍角の公式に代入します。
\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}\)
\(\phantom{\sin 2\alpha} = \color{#ff0000}{\frac{24}{25}}\)
なるほど、先に \(\cos\alpha\) を出すのがポイントなんですね！
練習問題
練習1 \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) で \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{3}\) のとき、次の値を求めよ。
(1) \(\sin 2\alpha\) (2) \(\cos 2\alpha\) (3) \(\tan 2\alpha\)
ヒントを見る
まず \(\sin\alpha\) を求めよう。
\(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\)（第2象限）だから \(\sin\alpha>0\)。
\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\) を使う。
答えを見る
まず \(\sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}\)
(1) \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\color{#ff0000}{-\frac{4\sqrt{5}}{9}}\)
(2) \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac{4}{9}=\color{#ff0000}{\frac{1}{9}}\)
(3) \(\tan 2\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\)
\(\phantom{(3)\ \tan 2\alpha}=\left(-\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)\div\frac{1}{9}=\color{#ff0000}{-4\sqrt{5}}\)
練習2 2倍角の公式の作り方を参考にして、次の等式を証明せよ。
(1) \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha – 4\sin^3\alpha\)
(2) \(\cos 3\alpha = -3\cos\alpha + 4\cos^3\alpha\)
ヒントを見る
\(3\alpha = 2\alpha + \alpha\) と考えて加法定理を使う。
そのあと 2倍角の公式と \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) で、\(\sin\alpha\) だけ（または \(\cos\alpha\) だけ）の式に直す。
答えを見る（1）
\(\sin 3\alpha=\sin(2\alpha+\alpha)=\sin 2\alpha\cos\alpha+\cos 2\alpha\sin\alpha\)
\(\phantom{\sin 3\alpha}=2\sin\alpha\cos\alpha\cdot\cos\alpha+(1-2\sin^2\alpha)\sin\alpha\)
\(\phantom{\sin 3\alpha}=2\sin\alpha\cos^2\alpha+\sin\alpha-2\sin^3\alpha\)
\(\phantom{\sin 3\alpha}=2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)+\sin\alpha-2\sin^3\alpha\)
\(\phantom{\sin 3\alpha}=2\sin\alpha-2\sin^3\alpha+\sin\alpha-2\sin^3\alpha\)
\(\phantom{\sin 3\alpha}=\color{#ff0000}{3\sin\alpha-4\sin^3\alpha}\)
答えを見る（2）
\(\cos 3\alpha=\cos(2\alpha+\alpha)=\cos 2\alpha\cos\alpha-\sin 2\alpha\sin\alpha\)
\(\phantom{\cos 3\alpha}=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha\cdot\sin\alpha\)
\(\phantom{\cos 3\alpha}=2\cos^3\alpha-\cos\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha\)
\(\phantom{\cos 3\alpha}=2\cos^3\alpha-\cos\alpha-2(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha\)
\(\phantom{\cos 3\alpha}=2\cos^3\alpha-\cos\alpha-2\cos\alpha+2\cos^3\alpha\)
\(\phantom{\cos 3\alpha}=\color{#ff0000}{4\cos^3\alpha-3\cos\alpha}\)
まとめ：2倍角の公式
さて、今回のまとめだよ！
① \(\sin 2\alpha = \color{#ff0000}{2\sin\alpha\cos\alpha}\)
② \(\cos 2\alpha = \color{#ff0000}{\cos^2\alpha – \sin^2\alpha}\)
\(\phantom{\cos 2\alpha} = \color{#ff0000}{1 – 2\sin^2\alpha}\)
\(\phantom{\cos 2\alpha} = \color{#ff0000}{2\cos^2\alpha – 1}\)
③ \(\tan 2\alpha = \color{#ff0000}{\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}\)
すべて加法定理の \(\beta\) を \(\alpha\) に置きかえれば作れる。
また一つ賢くなった！
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