【数学Ⅱ】三角関数10：半角の公式

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。

半角の公式で「半分の角」の値を求めよう

解くために必要な2つの知識

① 半角の公式は「2倍角の公式」を変形しただけ

出発点は、2倍角の公式 \(\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta\) です。

この式を \(\sin^2\theta\) について解いていきます。

移項して

\(2\sin^2\theta=1-\cos 2\theta\)

両辺を2で割ると、

\(\color{#1565c0}{\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}}\) が得られます。

同じように \(\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1\) からは \(\color{#1565c0}{\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}}\) が、

この2つを割ると \(\color{#1565c0}{\tan^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}}\) も作れます。

教科書では \(\theta\) を \(\frac{\alpha}{2}\) におきかえ、\(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\) の形で書かれています。

② 2乗をはずすときは「符号」を必ず確認する

半角の公式は、どれも左辺が \(\sin^2\theta\) のように「2乗の形」になっています。

だから値を求めるときは、最後に2乗をはずす（ルートをとる）操作が必要です。

そこで、求めたい角がどの範囲にあるかを調べ、\(\sin\) や \(\cos\) が正か負かを先に決めてからルートを外します。

たとえば角が第1象限なら \(\sin,\ \cos\) はどちらも正、第2象限なら \(\sin\) は正で \(\cos\) は負、というように決まります。

実際に解いてみよう

\(\frac{\pi}{8}\) は三角比の表に無い角ですが、2倍すると \(\frac{\pi}{4}\) という値のわかる角になります。

このように「2倍すると値のわかる角になる」ときこそ、半角の公式の使いどころです。

\(\cos^2\frac{\pi}{8}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}\)

\(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\) ですから、 \(\cos^2\frac{\pi}{8}=\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}\)

よって、 \(\cos^2\frac{\pi}{8}=\frac{2+\sqrt2}{4}\)

最後に2乗をはずしていきます。

\(\frac{\pi}{8}\) は \(0<\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{2}\)（第1象限）なので \(\color{#1565c0}{\cos\frac{\pi}{8}>0}\) です。

したがって \(\color{#ff0000}{\cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}}\) となります。

もう1問：角の範囲から符号を決める

求めたいのは \(\sin\frac{\alpha}{2}\)。

\(\frac{\alpha}{2}\) は2倍すると \(\alpha\) になり、その \(\cos\alpha\) が与えられているので半角の公式を使います。

\(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\)

\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\) を代入すると \(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-(-\frac{4}{5})}{2}\)

よって \(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{9}{10}\) となります。

最後に2乗をはずしていきます。

\(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) の各辺を2で割ると \(\color{#1565c0}{\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}}\) です。

この範囲は第1象限なので \(\sin\frac{\alpha}{2}>0\)。

だから2乗をはずすと正の値になります。

したがって \(\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\) ですから、

分母を有理化して \(\color{#ff0000}{\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\) となります。

練習問題で確認しよう

練習1　半角の公式を用いて、次の値を求めよ。

(1) \(\sin\frac{\pi}{8}\)
(2) \(\cos\frac{3}{8}\pi\)

ヒントを見る

(1) \(\frac{\pi}{8}\) は2倍すると \(\frac{\pi}{4}\)。公式①を使おう。
(2) \(\frac{3}{8}\pi\) は2倍すると \(\frac{3}{4}\pi\)。公式②を使おう。

答えを見る

(1) \(\sin^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{2-\sqrt2}{4}\)
\(0<\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{2}\) より \(\sin\frac{\pi}{8}>0\)
よって \(\color{#ff0000}{\sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}}\)
(2) \(\cos\frac{3}{4}\pi=-\frac{\sqrt2}{2}\) だから
\(\cos^2\frac{3}{8}\pi=\frac{1+\cos\frac{3}{4}\pi}{2}=\frac{2-\sqrt2}{4}\)
\(0<\frac{3}{8}\pi<\frac{\pi}{2}\) より \(\cos\frac{3}{8}\pi>0\)
よって \(\color{#ff0000}{\cos\frac{3}{8}\pi=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}}\)

練習2　\(\pi<\alpha<\frac{3}{2}\pi\) で \(\cos\alpha=-\frac{1}{4}\) のとき、次の値を求めよ。

(1) \(\sin\frac{\alpha}{2}\)
(2) \(\cos\frac{\alpha}{2}\)
(3) \(\tan\frac{\alpha}{2}\)

ヒントを見る

まず \(\frac{\alpha}{2}\) の範囲を調べよう。各辺を2で割ると \(\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3}{4}\pi\)。
この範囲（第2象限）では \(\sin\frac{\alpha}{2}>0,\ \cos\frac{\alpha}{2}<0,\ \tan\frac{\alpha}{2}<0\) だよ。

答えを見る

\(\pi<\alpha<\frac{3}{2}\pi\) より \(\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3}{4}\pi\)（第2象限）
この範囲で \(\sin\frac{\alpha}{2}>0,\ \cos\frac{\alpha}{2}<0\)
(1) \(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{5}{8}\)
よって \(\color{#ff0000}{\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{10}}{4}}\)
(2) \(\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{3}{8}\)
よって \(\color{#ff0000}{\cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}}\)
(3) \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\color{#ff0000}{-\frac{\sqrt{15}}{3}}\)

まとめ：半角の公式