今日の板書はこれ！
\(2^x=8\) のように、指数(右上の数)に \(x\) が入った方程式を指数方程式といいます。
解き方は大きく2つあります。
[1] 両辺の底をそろえ、指数だけを取り出す：\(a^x=a^P \Leftrightarrow x=P\)
[2] \(a^x=X\ (X>0)\) とおきかえ、簡単な方程式に帰着させる
次の方程式を解け。
\(27^x=9\)
▼ 解答
両辺の底を3にそろえると
\(3^{3x}=3^2\)
底が同じなので指数を比べて \(3x=2\)
よって \(x=\frac{2}{3}\)
次の方程式を解け。
\(4^x-3\cdot 2^x-4=0\)
▼ 解答
\(4^x=(2^x)^2\) だから \((2^x)^2-3\cdot 2^x-4=0\)
\(2^x=X\ (X>0)\) とおくと \(X^2-3X-4=0\)
\((X+1)(X-4)=0\)
\(X>0\) より \(X=4\)
\(2^x=4=2^2\) より \(x=2\)
もっと詳しくお願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。
指数方程式の解き方を身につけよう
例えば、\(27^x=9\) のような方程式を考えてみよう。\(x\) はいくつになるだろう？
次の方程式を解け。
\(27^x=9\)
\(x\) が指数のところにあって、どう解けばいいか分かりません…
ポイントになる考え方は2つあるよ。順番に見ていこう。
解くために必要な2つの知識
① 底をそろえれば、指数だけを比べられる
まずは、底がそろっているときの考え方だよ。
指数関数 \(y=a^x\) のグラフは、\(x\) が変われば値もつねに変わります(単調に増加、または減少します)。
だから \(a^x=a^P\) が成り立つのは、指数どうしが等しい \(x=P\) のときだけです。
つまり 底がそろえば、指数だけを比べればよいのです。
この考え方は、前回の累乗と累乗根の大小比較（こちら）でも使った、指数関数の単調性そのものです。
② 置き換えて、簡単な方程式にする
つぎは、底をそろえられないときの必殺技、おきかえだよ。
\(4^x-3\cdot 2^x-4=0\) のように、底を1つにそろえられない式は、\(a^x=X\) と1つの文字におきかえます。
たとえば \(4^x=(2^2)^x=(2^x)^2\) なので、\(2^x=X\) とおけば \(X\) についての2次方程式になります。
指数の計算に不安があれば、有理数の指数（こちら）を復習しておきましょう。
ここで大切なのは、\(X=a^x\) はつねに正なので、\(X>0\) という条件がつくことです。
おきかえて解いたあとは、この条件に合う \(X\) だけを残します。
実際に解いてみよう
じゃあ、さっきの2つの知識を使って解いていくよ。
次の方程式を解け。
\(27^x=9\)
まず両辺の底を3にそろえます。
\(27=3^3\)、\(9=3^2\) なので、\(3^{3x}=3^2\) となります。
底が同じになったので、あとは指数どうしを比べるだけです。
\(3x=2\) より、\(x=\frac{2}{3}\) が求める答えです。
指数のところだけ取り出せた！
次の方程式を解け。
\(4^x-3\cdot 2^x-4=0\)
これは底を1つにそろえられません…
そう、そこでおきかえの出番だよ。
まず \(4^x=(2^x)^2\) に直すと、\((2^x)^2-3\cdot 2^x-4=0\) となります。
ここで\(2^x=X\) とおきます。
ただし \(2^x\) はつねに正なので、\(X>0\) です。
すると \(X^2-3X-4=0\) という2次方程式になります。
因数分解すると \((X+1)(X-4)=0\) なので \(X=-1,\ 4\)。
このうち \(X>0\) を満たすのは \(X=4\) だけです。
最後に \(2^x=X\) に戻します。
\(2^x=4=2^2\) なので、\(x=2\) が答えです。
おきかえたときは、最後に必ず \(X>0\) の条件を確認してね。
練習問題
次の方程式を解け。
(1) \(4^x=8\)
(2) \(8^x=\frac{1}{16}\)
(3) \(9^x=3^{2-x}\)
ヒントを見る
両辺の底をそろえて、指数どうしを比べましょう。(2)は \(\frac{1}{16}=2^{-4}\)、(3)は右辺も3の累乗です。
答えを見る
(1) \(2^{2x}=2^3\) より \(2x=3\)、\(x=\frac{3}{2}\)
(2) \(2^{3x}=2^{-4}\) より \(3x=-4\)、\(x=-\frac{4}{3}\)
(3) \(3^{2x}=3^{2-x}\) より \(2x=2-x\)、\(3x=2\)、\(x=\frac{2}{3}\)
次の方程式を解け。
(1) \(4^x+2\cdot 2^x-3=0\)
(2) \(9^x-4\cdot 3^x+3=0\)
ヒントを見る
\(a^x=X\ (X>0)\) とおいて2次方程式にしましょう。最後に \(X>0\) の確認と、\(x\) に戻すのを忘れずに。
答えを見る
(1) \(2^x=X\ (X>0)\) とおくと \(X^2+2X-3=0\)、\((X+3)(X-1)=0\)。
\(X>0\) より \(X=1\)、\(2^x=1\) だから \(x=0\)
(2) \(3^x=X\ (X>0)\) とおくと \(X^2-4X+3=0\)、\((X-1)(X-3)=0\)。
\(X=1,\ 3\)(ともに \(X>0\)) より \(3^x=1,\ 3^x=3\) だから \(x=0,\ 1\)
まとめ：指数方程式の解き方
さて、今回のまとめだよ！
① 両辺の底をそろえられるときは、底をそろえて指数だけを比べる。\(a^x=a^P \Leftrightarrow x=P\)。
② 底をそろえられないときは、\(a^x=X\ (X>0)\) とおきかえて2次方程式にする。
おきかえたら \(X>0\) の条件を確認し、最後に \(X=a^x\) に戻して \(x\) を求める。
また一つ賢くなった！
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