【数学Ⅱ】三角関数05：三角関数を含む方程式・不等式（基本）

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。

三角方程式・三角不等式とは？

三角方程式の解き方（基本3ステップ）

三角方程式を解く手順は、① 単位円をかく、② \(\theta\) の範囲を確認する、③ その値になる角を考える、の3つです。

sinθ なら y座標、cosθ なら x座標、tanθ なら動径の傾きに注目します。

例題：sinθ = -1/2 を解く

\(y=-\frac{1}{2}\) の高さに横線を引くと、単位円と2点で交わります。

下半分（\(y<0\) の側）の左右に1つずつですね。

この2点に対応する角を読み取ると、\(\theta=\frac{7}{6}\pi\) と \(\theta=\frac{11}{6}\pi\) です。

よって答えは \(\color{#ff0000}{\theta=\frac{7}{6}\pi,\ \frac{11}{6}\pi}\) となります。

例題：tanθ = √3 を解く

原点を通り傾き \(\sqrt{3}\) の直線を引くと、単位円と2点で交わります。

\(\color{#8a2be2}{\tan\theta}=\sqrt{3}\) になるのは \(\theta=\frac{\pi}{3}\)、そして反対側の \(\theta=\frac{4}{3}\pi\) です。

よって答えは \(\color{#ff0000}{\theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{4}{3}\pi}\) です。

tan は半周（\(\pi\)）ごとに同じ値になるので、解も \(\pi\) 違いで2つ出てきます。

置き換えが必要な三角方程式

ステップ1：置き換えて範囲を直す

\(t=\theta+\frac{\pi}{3}\) とおきます。

\(0\leq\theta<2\pi\) の各辺に \(\frac{\pi}{3}\) を足すと、t の範囲は \(\color{#ff0000}{\frac{\pi}{3}\leq t<\frac{7}{3}\pi}\) になります。

ステップ2：tの方程式を解く

この範囲で \(\color{hotpink}{\sin t}=\frac{1}{2}\) を解くと、\(t=\frac{5}{6}\pi,\ \frac{13}{6}\pi\) です。

範囲 が \(\frac{\pi}{3}\leq t<\frac{7}{3}\pi\)（1周より少し広い）なので、その中に入るものだけを選ぶのがコツです。

ステップ3：θに戻す

最後に \(\theta=t-\frac{\pi}{3}\) で戻します。

\(t=\frac{5}{6}\pi\) なら \(\theta=\frac{\pi}{2}\)、\(t=\frac{13}{6}\pi\) なら \(\theta=\frac{11}{6}\pi\)。

よって \(\color{#ff0000}{\theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{11}{6}\pi}\) です。

三角不等式の解き方

例題：sinθ > 1/2 を解く

まず境界 \(\color{hotpink}{\sin\theta}=\frac{1}{2}\) を解くと \(\theta=\frac{\pi}{6},\ \frac{5}{6}\pi\)。

次に sinθ（＝y座標） が \(\frac{1}{2}\) より大きくなる範囲を単位円で探します。

y座標 が \(\frac{1}{2}\) より上にあるのは、円の上のほう。

\(\frac{\pi}{6}\) から \(\frac{5}{6}\pi\) までの間です。

よって \(\color{#ff0000}{\frac{\pi}{6}<\theta<\frac{5}{6}\pi}\) となります。

例題：tanθ > 1 を解く

直線 \(x=1\) を引き、その上で \(y\) が \(1\) より大きくなる向きの角を考えます。

境界 \(\color{#8a2be2}{\tan\theta}=1\) は \(\theta=\frac{\pi}{4},\ \frac{5}{4}\pi\) です。

範囲を読むと \(\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{2}\) と \(\frac{5}{4}\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi\) の2か所。

よって \(\color{#ff0000}{\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{2},\ \frac{5}{4}\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi}\) です。

練習問題で確認しよう

練習1・2（基本の方程式）

練習1（\(0\leq\theta<2\pi\)）

(1)　\(2\color{#ff69b4}{\sin\theta}=\sqrt{3}\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{2}{3}\pi}\)

(2)　\(2\color{#00bfff}{\cos\theta}+1=0\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\theta=\frac{2}{3}\pi,\ \frac{4}{3}\pi}\)

(3)　\(\color{#8a2be2}{\tan\theta}+1=0\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\theta=\frac{3}{4}\pi,\ \frac{7}{4}\pi}\)

練習2（一般解。\(n\) は整数）

(1)　\(2\color{#ff69b4}{\sin\theta}=-\sqrt{3}\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\theta=\frac{4}{3}\pi+2n\pi,\ \frac{5}{3}\pi+2n\pi}\)

(2)　\(\sqrt{2}\,\color{#00bfff}{\cos\theta}=-1\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\theta=\frac{3}{4}\pi+2n\pi,\ \frac{5}{4}\pi+2n\pi}\)

(3)　\(\color{#8a2be2}{\tan\theta}+\sqrt{3}=0\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\theta=\frac{2}{3}\pi+n\pi}\)　（\(\color{#8a2be2}{\tan}\) は周期 \(\pi\)）

練習3（置き換えタイプ）

練習3（\(0\leq\theta<2\pi\)）

(1)　\(\color{#ff69b4}{\sin}\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\theta=\frac{17}{12}\pi,\ \frac{23}{12}\pi}\)

(2)　\(\color{#00bfff}{\cos}\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\theta=\frac{19}{12}\pi,\ \frac{23}{12}\pi}\)

（\(t\) の範囲に直してから解くのがコツです。）

練習4・5（不等式）

練習4（\(0\leq\theta<2\pi\)）

(1)　\(\color{#ff69b4}{\sin\theta}\geq\frac{\sqrt{3}}{2}\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\frac{2}{3}\pi}\)

(2)　\(\color{#00bfff}{\cos\theta}<\frac{1}{\sqrt{2}}\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{7}{4}\pi}\)

(3)　\(\color{#ff69b4}{\sin\theta}<\frac{1}{2}\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{0\leq\theta<\frac{\pi}{6},\ \frac{5}{6}\pi<\theta<2\pi}\)

練習5（\(0\leq\theta<2\pi\)）

\(\color{#8a2be2}{\tan\theta}\leq\frac{1}{\sqrt{3}}\)
　　答え：\(\color{#ff0000}{0\leq\theta\leq\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2}<\theta\leq\frac{7}{6}\pi,\ \frac{3}{2}\pi<\theta<2\pi}\)

（練習5 は \(\color{#8a2be2}{\tan}\) が \(\theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{3}{2}\pi\) で定義されないので、その前後で区間が分かれます。少し難しめなので、図でていねいに確認しましょう。）

まとめ：三角方程式・三角不等式の解き方