今日の板書はこれ！
\(\color{#ff69b4}{\sin\theta}\) や \(\color{#00bfff}{\cos\theta}\) を1つの文字 \(t\) におきかえると、見慣れた2次関数の最大・最小の問題に早変わり！
ただし \(t\) には範囲がある（ふつう \(-1\leq t\leq 1\)）。必ずグラフをかいて、その範囲の中で最大・最小を読み取るのがコツだよ。
\(0\leq\theta<2\pi\) のとき、関数 \(y=\sin^2\theta+2\sin\theta\) の最大値・最小値を求めよ。また、そのときの \(\theta\) の値も求めよ。
▼ 解答
\(t=\color{#ff69b4}{\sin\theta}\) とおくと、\(y=t^2+2t=(t+1)^2-1\)
\(0\leq\theta<2\pi\) のとき \(\color{#e65100}{-1\leq t\leq 1}\)
グラフより、\(t=1\) のとき最大値 \(\color{#ff0000}{3}\)（\(\sin\theta=1\)、つまり \(\theta=\frac{\pi}{2}\)）
\(t=-1\) のとき最小値 \(\color{#ff0000}{-1}\)（\(\sin\theta=-1\)、つまり \(\theta=\frac{3}{2}\pi\)）
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。
三角関数の最大・最小って、どう解くの？
\(y=\sin^2\theta+2\sin\theta\) みたいな式、いきなり「最大・最小を求めよ」と言われると難しそうだよね。
\(\sin^2\theta\) とか出てきて、もうお手上げです…。
大丈夫！ \(\color{#ff69b4}{\sin\theta}\) を文字 \(t\) におきかえると、\(y=t^2+2t\) というただの2次関数になるんだ。
あっ、それなら平方完成して解けるやつだ！
解き方の3ステップ
やることはいつも同じ。次の3ステップで攻略できるよ。
ステップ1：sin・cos を t におきかえる
\(\color{#ff69b4}{\sin\theta}\)（または \(\color{#00bfff}{\cos\theta}\)）を、まるごと1つの文字 \(t\) におきかえます。
すると三角関数の式が、見慣れた \(t\) の2次関数に変わります。
ステップ2：t の範囲を求める
ここが一番のポイント。
\(\color{#ff69b4}{\sin\theta}\) も \(\color{#00bfff}{\cos\theta}\) も、とりうる値は \(-1\) 以上 \(1\) 以下です。
だから \(t\) の範囲は \(\color{#e65100}{-1\leq t\leq 1}\) になります。
この範囲を書き忘れると、答えがズレてしまうので要注意です。
ステップ3：グラフをかいて最大・最小を読む
2次関数を平方完成してグラフをかき、\(\color{#e65100}{-1\leq t\leq 1}\) の範囲の中だけを見ます。
その範囲での頂点や端っこ（端点）が、最大・最小になります。
例題：y=sin²θ+2sinθ の最大・最小
\(0\leq\theta<2\pi\) のとき、関数 \(y=\sin^2\theta+2\sin\theta\) の最大値・最小値と、そのときの \(\theta\) の値を求めよ。
ステップ1：t におきかえる
\(t=\color{#ff69b4}{\sin\theta}\) とおくよ。すると \(\sin^2\theta=t^2\) だから…。
\(y=t^2+2t\) になります。
平方完成すると \(y=(t+1)^2-1\) です。
ステップ2：t の範囲
\(0\leq\theta<2\pi\) のとき、\(\color{#ff69b4}{\sin\theta}\) は \(-1\) から \(1\) までのすべての値をとります。
よって \(t\) の範囲は \(\color{#e65100}{-1\leq t\leq 1}\) です。
ステップ3：グラフで最大・最小
\(y=(t+1)^2-1\) は頂点 \((-1,\ -1)\) の下に開いていない（上に開く）放物線です。
この \(\color{#e65100}{-1\leq t\leq 1}\) の範囲を見ると、右端の \(t=1\) で一番高く、左端の \(t=-1\)（＝頂点）で一番低くなります。
グラフから、\(t=1\) のとき最大値 \(\color{#ff0000}{3}\)、\(t=-1\) のとき最小値 \(\color{#ff0000}{-1}\) と読み取れます。
範囲の中だけ見ればいいんですね！
θ の値を求める
最後に \(t=\color{#ff69b4}{\sin\theta}\) に戻して、\(\theta\) を求めます。
\(0\leq\theta<2\pi\) の範囲で、\(\sin\theta=1\) となるのは \(\theta=\frac{\pi}{2}\)、\(\sin\theta=-1\) となるのは \(\theta=\frac{3}{2}\pi\) です。
したがって、\(\theta=\frac{\pi}{2}\) のとき最大値 \(\color{#ff0000}{3}\)、\(\theta=\frac{3}{2}\pi\) のとき最小値 \(\color{#ff0000}{-1}\) が答えです。
最大・最小は必ずグラフをかいて考えること！ 範囲を勘で決めると間違えるよ。
練習問題で確認しよう
今度は \(\color{#00bfff}{\cos\theta}\) のパターン。同じ手順でできるか、やってみよう！
練習1（\(0\leq\theta<2\pi\)）
\(y=\color{#00bfff}{\cos^2\theta}-\color{#00bfff}{\cos\theta}\) の最大値・最小値と、そのときの \(\theta\) を求めよ。
答え：最大値 \(\color{#ff0000}{2}\)（\(\cos\theta=-1\)、つまり \(\theta=\pi\)）、最小値 \(\color{#ff0000}{-\frac{1}{4}}\)（\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)、つまり \(\theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{5}{3}\pi\)）
ヒント：\(t=\color{#00bfff}{\cos\theta}\) とおくと \(y=t^2-t=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)。範囲は \(\color{#e65100}{-1\leq t\leq 1}\) で、頂点 \(t=\frac{1}{2}\) で最小、端の \(t=-1\) で最大になるよ。
まとめ：三角関数の最大・最小
さて、今回のまとめだよ！
① \(\color{#ff69b4}{\sin\theta}\) や \(\color{#00bfff}{\cos\theta}\) を文字 \(t\) におきかえて、2次関数にする。
② \(t\) の範囲 \(\color{#e65100}{-1\leq t\leq 1}\) を必ず確認する。
③ グラフをかいて、その範囲の中で最大・最小を読み取る。
また一つ賢くなった！
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