【数学Ⅰ】集合と命題02：部分集合と包含関係

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

2つの集合の関係を記号で表すと？

部分集合とは？

例題1の \(\color{#45A3DA}{A}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6\}\) の要素を1つずつ見ると、1も2も3も6も、すべて \(\color{#E9548E}{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\}\) の要素になっています。

このように、\(\color{#45A3DA}{A}\) のどの要素をとっても \(\color{#E9548E}{B}\) の要素になっているとき、\(A\) は \(B\) の部分集合であるといい、次のように表します。

\(A\subset B\)　（\(B\supset A\) と書いてもよい）

一般に、\(x\in A\) ならば常に \(x\in B\) であるとき、\(A\) は \(B\) の部分集合であるといいます。

\(\subset\) は「包む」向きを表す記号で、開いている側に大きい集合がきます。

\(A\subset B\) なら、\(B\) の方が大きい（\(A\) を含む）集合です。

A自身もAの部分集合

\(x\in A\) ならば、当然 \(x\in A\) です。

よって、\(A\subset A\) が成り立ち、\(A\) 自身も \(A\) の部分集合になります。

2つの集合が等しいとは？

6の正の約数は1, 2, 3, 6なので、\(\color{#F39800}{C}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6\}\) です。

\(\color{#45A3DA}{A}\) の要素はすべて \(\color{#F39800}{C}\) に入っているので \(A\subset C\)、\(C\) の要素もすべて \(A\) に入っているので \(C\subset A\) です。

このように、\(A\subset B\) かつ \(B\subset A\) であるとき、\(A\) と \(B\) は等しいといい、次のように表します。

\(A=B\)

例題1の (2) は、\(A=C\) となります。

空集合はすべての集合の部分集合

要素を1つももたない空集合 \(\emptyset\) は、すべての集合の部分集合であると約束します。

つまり、どんな集合 \(A\) に対しても次が成り立ちます。

\(\emptyset\subset A\)

部分集合をすべてあげよう

要素が0個の部分集合：　\(\emptyset\)

要素が1個の部分集合：　\(\{a\},\ \{b\}\)

要素が2個の部分集合：　\(\{a,\ b\}\)

よって、部分集合は　\(\emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a,\ b\}\)　の4個です。

空集合 \(\emptyset\) と、集合自身 \(\{a,\ b\}\) も部分集合に含まれることを忘れないようにしましょう。

練習問題

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(1) \(A\) の要素はすべて \(B\) の要素であるから　\(A\subset B\)

(2) \(D=\{1,\ 2,\ 5,\ 10\}\) であるから　\(C=D\)

(3) \(P=\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 12\}\)，\(Q=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\}\) であり、\(Q\) の要素はすべて \(P\) の要素であるから　\(P\supset Q\)

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要素の個数が0個、1個、2個、3個の部分集合を順にあげると

\(\emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{3\},\ \{1,\ 2\},\ \{1,\ 3\},\ \{2,\ 3\},\ \{1,\ 2,\ 3\}\)

まとめ：部分集合と包含関係