【高校数学Ⅱ】「積分」まとめページ｜定義・公式を分かりやすく完全解説

① 微分すると \(f(x)\) になる関数 \(F(x)\) を、\(f(x)\) の原始関数という。

② 原始関数は無数にあるが、違うのは定数部分だけである。

③ 原始関数全体を不定積分といい、\(\int f(x)\,dx=F(x)+C\)（\(C\) は積分定数）と表す。

④ 原始関数かどうかは、微分して \(f(x)\) に戻るかで確かめる。

① \(\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\) は 0 以上の整数）。特に \(\int dx=x+C\) である。

② 公式は、右辺を微分すると \(x^n\) に戻ることから成り立つ。

③ \(\int\{kf(x)\pm lg(x)\}\,dx\)
\(=k\int f(x)\,dx\pm l\int g(x)\,dx\)。和・差は項ごとに積分し、定数倍は前に出せる。

④ 積の形は展開してから項ごとに積分する。積分定数は最後に1つの \(C\) にまとめる。

⑤ \(dy\)、\(dt\) のときは、\(y\)、\(t\) が積分変数である。

⑥ \(F'(x)\) と \(F(a)\) の値が分かれば、不定積分してから条件で \(C\) を決めることで \(F(x)\) が求まる。

関数 \(f(x)\) の原始関数の1つを \(F(x)\) とするとき、

\(\int_a^b f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b\)
\(=F(b)-F(a)\)

\(a\) を下端、\(b\) を上端、\(a\leq x\leq b\) を積分区間という。

計算の手順　原始関数 \(F(x)\) を求め、上端 \(b\) を代入した値から下端 \(a\) を代入した値を引く。

積分定数 \(C\) は引き算で消えるので、定積分では考えなくてよい。

不定積分は関数であるが、定積分は1つの数になる。

基本の手順　原始関数 \(F(x)\) を求め、上端を代入した値から下端を代入した値を引く。

計算のコツ①　分母が同じ分数どうしをまとめて計算すると楽である。

係数を外に出して項ごとに計算してもよい。
\(\int_a^b (px^2+qx+r)\,dx\)
\(=\frac{p}{3}(b^3-a^3)+\frac{q}{2}(b^2-a^2)\)
\(\quad +r(b-a)\)

計算のコツ②　積の形は展開して和の形にしてから積分する。

定積分の値は負の数になることもある。

[1]　係数は前に出せる・関数は分けられる

\(\int_a^b \{kf(x)\pm lg(x)\}\,dx\)

\(=k\int_a^b f(x)\,dx\pm l\int_a^b g(x)\,dx\)

[2]　上端と下端が同じなら値は 0　

\(\int_a^a f(x)\,dx=0\)

[3]　− をつけると上端と下端を入れかえられる

\(\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\)

[4]　区間をつなげられる

\(\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx\)

いずれも、\(F'(x)=f(x)\) とするとき

\(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)

から導かれる。

区間が同じ定積分は1つにまとめ、区間がつながる定積分は上端と下端をそろえてつなげる。

積分方程式　定積分を含む等式を満たす関数 \(f(x)\) を求める

積分区間に変数 \(x\) を含まないとき、

\(\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)\)

は定数である。

よって、一旦

\(\int_a^b f(t)\,dt=k\)（定数）

とおき、\(k\) について計算する。

積分方程式　定積分を含む等式を満たす関数 \(f(x)\) を求める

積分区間に変数 \(x\) を含むとき、次の2つを行う。

[1]　両辺を \(x\) で微分する

\(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\)（\(a\) は定数）

[2]　定積分が 0 となる値を両辺の \(x\) に代入する

\(\int_a^a f(t)\,dt=0\)

区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \({\color{#EE4656}{f(x)}}\geq {\color{#45A3DA}{g(x)}}\) のとき、

2曲線 \(y={\color{#EE4656}{f(x)}}\)、\(y={\color{#45A3DA}{g(x)}}\) と2直線 \(x=a\)、\(x=b\) で囲まれた図形の面積 \({\color{#E9548E}{S}}\) は

\({\color{#E9548E}{S}}=\int_a^b \{{\color{#EE4656}{f(x)}}-{\color{#45A3DA}{g(x)}}\}\,dx\)

（上の関数）−（下の関数）を定積分すると、面積が求められる。

\(x\) 軸は直線 \(y=0\)として考える。

まず図をかき、関数の上下関係と共有点を確認する。

面積は必ず正の値になる。

絶対値を含む関数の定積分は、次のように求める。

• 絶対値の中身が0以上ならそのまま、負なら −をつけて外す。
• 中身の符号が変わる点で、積分区間も分割する。
• \(y=|f(x)|\) のグラフは、\(y=f(x)\) の \(x\) 軸より下の部分を \(x\) 軸で折り返したもの。定積分は面積と見なせる。

例　\(\int_0^2 |x^2-1|\,dx\)

\(=\int_0^1 ({\color{#45A3DA}{-x^2+1}})\,dx+\int_1^2 ({\color{#EE4656}{x^2-1}})\,dx\)

\({\color{#E9548E}{=2}}\)

放物線と直線で囲まれた部分の面積は、1/6公式を使って求める。

\(\int_\alpha^\beta (x-{\color{#E9548E}{\alpha}})(x-{\color{#45A3DA}{\beta}})\,dx\)

\(=-\frac{1}{6}({\color{#45A3DA}{\beta}}-{\color{#E9548E}{\alpha}})^3\)

• 放物線と直線の共有点の \(x\) 座標 \({\color{#E9548E}{\alpha}}\)、\({\color{#45A3DA}{\beta}}\) を求める。
• \(\alpha\)、\(\beta\) が積分区間の端になり、関数は \((x-{\color{#E9548E}{\alpha}})(x-{\color{#45A3DA}{\beta}})\) の形に因数分解できる。
• \(({\color{#45A3DA}{\beta}}-{\color{#E9548E}{\alpha}})^3\) を計算するだけで面積が求められる。

\(x^2\) の係数が \(a\) のときは、\(a\) を積分の外にくくり出してから使う。

例　放物線 \(y=x^2-4x+1\) と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積

\(S=-\int_{\color{#E9548E}{2-\sqrt{3}}}^{\color{#45A3DA}{2+\sqrt{3}}}(x^2-4x+1)\,dx\)

\(=-\left[-\frac{1}{6}(2\sqrt{3})^3\right]\)

\(=4\sqrt{3}\)

曲線と接線で囲まれた部分の面積は、次の順に求める。

• 接線の方程式を求める。
• 曲線と接線の共有点の \(x\) 座標を求める。接点の \(x\) 座標は必ず解の1つになる。
• （上の関数）−（下の関数）を定積分して、面積を求める。

共有点を求める方程式は、接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると \((x-a)^2\) を因数にもつ。

\(n\) が正の整数のとき、次が成り立つ。

\(\int ({\color{#3CB371}{x+a}})^n\,dx\)

\(={\color{#F39800}{\frac{1}{n+1}}}({\color{#3CB371}{x+a}})^{\color{#F39800}{n+1}}+C\)

（\(C\) は積分定数）

• \(\int x^n\,dx\) の \(x\) を、かたまり \({\color{#3CB371}{x+a}}\) に置きかえた形である。
• \(x\) の係数が 1 の形 \((x+a)^n\) にだけ使える。
• 放物線と接線で囲まれた部分の面積では、（上の関数）−（下の関数）が \(({\color{#3CB371}{x-a}})^2\) の形（\(a\) は接点の \(x\) 座標）になる。展開せずに、かたまりのまま積分する。
• 接点の \(x\) 座標を代入すると \({\color{#3CB371}{x-a}}=0\) となり、その項が消えるので計算が楽になる。