【数学Ⅱ】図形と方程式08：直線に関して対称な点

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

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でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

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直線に関して対称とは？

点 \(\mathrm{A}\) を直線 \(\ell\) で折り返したときに重なる点 \(\mathrm{B}\) を、直線 \(\ell\) に関して点 \(\mathrm{A}\) と対称な点といいます。

直線 \(\ell\) は、線分 \(\mathrm{AB}\) の垂直二等分線になっています。

このことを座標で使える形にすると、次の2つの条件になります。

• 線分ABの中点が直線ℓ上にある
• 直線ABと直線ℓが垂直

図形は「条件を満たす点の集合」なので、直線上にある点の座標は、直線の方程式に代入すると必ず成り立ちます。

この考え方を中点の条件に使います。

直線に関して対称な点の座標を求める

求める点を文字で設定し、点Bの座標を \({\color{#E9548E}{(a,\ b)}}\) とおきます。

線分 \(\mathrm{AB}\) の中点の座標は \(\left(\frac{a+1}{2},\ \frac{b+4}{2}\right)\) です。

中点が直線ℓ上にある条件

中点が直線ℓ上にあるので、中点の座標を \(2x-y-3=0\) に代入します。

両辺を2倍して整理すると、次の式になります。

\(2\cdot\frac{a+1}{2}-\frac{b+4}{2}-3=0\)　より　\({\color{#3CB371}{2a-b-8=0}}\)　…①

直線ABと直線ℓが垂直になる条件

次に、直線 \(\mathrm{AB}\) の傾きは \(\frac{b-4}{a-1}\)、直線 \(\ell\) の傾きは \(2\) です。

2直線が垂直なので、傾きの積が \(-1\) になります。

\(2\cdot\frac{b-4}{a-1}=-1\)　より　\({\color{#45A3DA}{a+2b-9=0}}\)　…②

連立方程式を解いて点Bを求める

①より \(b=2a-8\) です。

これを②に代入すると \(5a-25=0\) となるので \(a=5\)、\(b=2\) と求まります。

よって　\({\color{#EE4656}{\mathrm{B}(5,\ 2)}}\)

練習問題

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点 \(\mathrm{B}\) の座標を \((a,\ b)\) とおく。線分 \(\mathrm{AB}\) の中点 \(\left(\frac{a+2}{2},\ \frac{b+1}{2}\right)\) が \(\ell\) 上にあるから

\(\frac{a+2}{2}-2\cdot\frac{b+1}{2}+10=0\)　より　\(a-2b+20=0\)　…①

直線 \(\ell\) の傾きは \(\frac{1}{2}\) であり、直線 \(\mathrm{AB}\) と垂直であるから

\(\frac{1}{2}\cdot\frac{b-1}{a-2}=-1\)　より　\(2a+b-5=0\)　…②

①、②より　\((a,\ b)=(-2,\ 9)\)　であるから　\({\color{#EE4656}{\mathrm{B}(-2,\ 9)}}\)

まとめ：直線に関して対称な点