今日の板書はこれ！
■ 円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \((x_1,\ y_1)\) における接線の方程式
\(x_1x+y_1y=r^2\)
■ 覚え方
円の方程式の2乗のうち、1つの \((x,\ y)\) を接点 \((x_1,\ y_1)\) に変えるだけ。
円 \(x^2+y^2=25\) 上の点 \((3,\ -4)\) における接線の方程式を求めよ。
▼ 解答
\({\color{#EE4656}{3x-4y=25}}\)
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円の接線の公式
円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \(({\color{#45A3DA}{x_1}},\ {\color{#45A3DA}{y_1}})\) における接線の方程式は、次のようになります。
\({\color{#45A3DA}{x_1}}x+{\color{#45A3DA}{y_1}}y=r^2\)
円の方程式 \(x^2+y^2=r^2\) は \(x\cdot x+y\cdot y=r^2\) と見ることができます。
この2つずつある \(x,\ y\) のうち、片方を接点の座標に置きかえた形になっています。
「x²をx₁x に、y²をy₁y に変える」だけ。とても覚えやすい公式だよ！
円の接線は、接点を通る半径と垂直に交わります。
この性質を使って公式を導きます。
まず、接点 \(\mathrm{P}({\color{#45A3DA}{x_1}},\ {\color{#45A3DA}{y_1}})\) が座標軸上にない、つまり \(x_1\neq0,\ y_1\neq0\) の場合を考えます。
直線 \(\mathrm{OP}\) の傾きは \(\frac{y_1}{x_1}\) なので、それと垂直な接線の傾きは \(-\frac{x_1}{y_1}\) です。
接線は点 \(\mathrm{P}\) を通るので、方程式は \(y-y_1=-\frac{x_1}{y_1}(x-x_1)\) です。
両辺に \(y_1\) をかけて整理すると、次のようになります。
\(x_1x+y_1y=x_1^2+y_1^2\)
ここで、点 \(\mathrm{P}\) は円 \(x^2+y^2=r^2\) 上にあるので \(x_1^2+y_1^2=r^2\) です。
これを右辺に入れると、公式 \(x_1x+y_1y=r^2\) が得られます。
接点が座標軸上にある場合、たとえば \((r,\ 0)\) なら接線は \(x=r\) です。
これは公式に \(x_1=r,\ y_1=0\) を入れた \(rx=r^2\) と同じなので、この場合も公式が使えます。
軸の上に接点があっても、同じ公式でいいんだね！
円上の点における接線を求める
円 \(x^2+y^2=25\) 上の点 \((3,\ -4)\) における接線の方程式を求めよ。
公式の \(x_1\) に \({\color{#45A3DA}{3}}\)、\(y_1\) に \({\color{#45A3DA}{-4}}\) を代入するだけです。
\({\color{#45A3DA}{3}}x+({\color{#45A3DA}{-4}})y=25\) より \({\color{#EE4656}{3x-4y=25}}\)
練習問題
次の円上の点 \(\mathrm{P}\) における接線の方程式を求めよ。
(1) \(x^2+y^2=10,\ \mathrm{P}(3,\ 1)\)
(2) \(x^2+y^2=13,\ \mathrm{P}(2,\ -3)\)
(3) \(x^2+y^2=16,\ \mathrm{P}(4,\ 0)\)
(4) \(x^2+y^2=5,\ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{5})\)
答えを見る
(1) \({\color{#EE4656}{3x+y=10}}\)
(2) \({\color{#EE4656}{2x-3y=13}}\)
(3) \(4x=16\) より \({\color{#EE4656}{x=4}}\)
(4) \(-\sqrt{5}\,y=5\) より \({\color{#EE4656}{y=-\sqrt{5}}}\)
まとめ：円の接線の方程式
さて、今回のまとめだよ！
■ 円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \((x_1,\ y_1)\) における接線の方程式
\(x_1x+y_1y=r^2\)
■ 覚え方
円の方程式の2乗のうち、1つの \((x,\ y)\) を接点 \((x_1,\ y_1)\) に変えるだけ。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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