【高校数学Ⅱ】「複素数と方程式」まとめページ｜定義・公式を分かりやすく完全解説

■ 虚数単位
2乗すると \(-1\) になる数を \(i\) で表し、虚数単位という。

\(i^2=-1\)

■ 複素数
\(a,\ b\) を実数として \(a+bi\) の形で表される数を複素数という。
\({\color{#45A3DA}{a}}\) を実部、\({\color{#E9548E}{b}}\) を虚部という。

■ 実数と虚数
\(b=0\) のとき \(a\) となり、これは実数である。
\(b\neq0\) のとき虚数という。
\(a=0\) かつ \(b\neq0\) のとき \(bi\) となり、これを純虚数という。

• 実数（\(b=0\)）：有理数 \(-1,\ 0,\ \frac{1}{2}\) など、無理数 \(\sqrt{2},\ \pi\) など
• 虚数（\(b\neq0\)）：\(i,\ -2i,\ 4+3i\) など

■ 注意
虚数には大小関係を考えない。

■ 負の数の平方根
\(a>0\) のとき、\(\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i\) とする。特に \(\sqrt{-1}=i\) である。
\(-a\) の平方根は \(\pm\sqrt{a}\,i\) である。

■ 共役な複素数
\(a+bi\) と \(a-bi\) を互いに共役な複素数という。
複素数 \(\alpha\) と共役な複素数を \(\overline{\alpha}\) で表す。なお、\(\overline{\overline{\alpha}}=\alpha\) である。

■ 共役な複素数の和と積
互いに共役な複素数の和と積は、常に実数になる。

\((a+bi)+(a-bi)=2a\)　\((a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\)

■ 計算のルール

• [1]　\(\sqrt{-a}\)（\(a>0\)）を見かけたら、ただちに \(\sqrt{a}\,i\) に変換する。
• [2]　\(i\) は普段の文字と同じ扱いで計算する。ただし、\(i^2\) が出たら \(-1\) にする。
• [3]　分母に \(i\) があるときは、分母と共役な複素数を分母と分子に掛けて実数化する。