【数学A】図形の性質03：三角形の外心

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

外心Oがあるとき、角αは何度？

外心とは？

三角形ABCの3辺それぞれに垂直二等分線を引くと、3本は必ず1点で交わります。

この交点を外心といい、ふつうOで表します。

では、外心にはどんな性質があるのでしょうか。

まず、垂直二等分線の性質を確認します。

線分ABの垂直二等分線上の点は、どれもAとBからの距離が等しくなっています。

逆に、AとBから同じ距離にある点は、すべてこの垂直二等分線の上にあります。

外心Oは、ABの垂直二等分線上にあるので OA＝OB、BCの垂直二等分線上にあるので OB＝OC です。

つまり、OA＝OB＝OC が成り立ち、外心は3頂点からの距離が等しい点です。

そのため、Oを中心として半径OAの円をかくと、3つの頂点A，B，Cをすべて通ります。

この円を△ABCの外接円といい、外心は外接円の中心になっています。

外心の位置

外心がどこにできるかは、三角形の形によって変わります。

鋭角三角形では三角形の内部、直角三角形では斜辺の中点、鈍角三角形では三角形の外部に外心があります。

どの場合でも、3頂点からの距離が等しいことに変わりはありません。

最初の問題を解こう

Oは外心なので、OA＝OB＝OC です。

すると、△OAB，△OBC，△OCA はどれも二等辺三角形になります。

二等辺三角形の底角は等しいので、等しい角どうしを同じ色で表すと、次の図のようになります。

△ABCの6つの角は、35°が2つ、25°が2つ、\(\alpha\) が2つです。

三角形の内角の和は180°なので、次の式が成り立ちます。

\(2(35^\circ+25^\circ+\alpha)=180^\circ\)

\(35^\circ+25^\circ+\alpha=90^\circ\)　より　\(\color{#EE4656}{\alpha=30^\circ}\)

練習問題

答えを見る

(1) OA＝OB＝OC より　∠OBA＝32°，∠OCA＝35°，∠OCB＝\(\alpha\)

\(2(32^\circ+35^\circ+\alpha)=180^\circ\)　より　\(\color{#EE4656}{\alpha=23^\circ}\)

(2) OA＝OC より　∠OAC＝∠OCA＝30°

よって　∠OAB＝70°－30°＝40°　OA＝OB より　∠OBA＝40°

OB＝OC より　∠OCB＝\(\alpha\)

\(2(40^\circ+30^\circ+\alpha)=180^\circ\)　より　\(\color{#EE4656}{\alpha=20^\circ}\)

(3) OB＝OC より　∠OCB＝\(\alpha\)

OA＝OB より　∠OAB＝∠OBA＝\(25^\circ+\alpha\)

OA＝OC より　∠OAC＝∠OCA＝\(45^\circ+\alpha\)

∠BAC＝180°－(25°＋45°)＝110° であり、∠BAC＝∠OAB＋∠OAC であるから

\((25^\circ+\alpha)+(45^\circ+\alpha)=110^\circ\)　より　\(\color{#EE4656}{\alpha=20^\circ}\)

まとめ：三角形の外心