【数学A】図形の性質09：円と接線（接弦定理・方べきの定理）

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

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円と接線が絡む問題は、この4つを考えよう！

円と接線が出てくる問題では、次の4つの性質のどれを使うかを考えます。

• ① 円の接線は、接点を通る半径と垂直
• ② 円の外部の点から引いた2本の接線の長さは等しい
• ③ 接弦定理
• ④ 方べきの定理

この記事では、次の問題を解きながら、1つずつ確認していきます。

① 接線と半径は垂直

円と直線がただ1点で交わるとき、その直線を円の接線、交わる点を接点といいます。

円の接線は、接点を通る半径に垂直になります。

② 接線の長さは等しい

円の外部の点Pから、円に2本の接線を引き、接点をA，Bとします。

このとき、PからA，Bまでの距離（接線の長さ）は等しく、PA＝PB です。

例題1を解こう

BP＝\(x\) とおきます。

接線の長さは等しいので、BR＝BP＝\(x\) です。

同じように、CQ＝CP＝\(8-x\)，AQ＝AR＝\(7-x\) です。

CA＝AQ＋QC なので、次のようになります。

\((7-x)+(8-x)=5\)　　\(15-2x=5\)　　\(x=5\)

したがって、BP＝5 です。

③ 接弦定理

接点Aを通る弦ABと、Aにおける接線ATが作る角∠BATを考えます。

具体的な図で見ると、∠BAT＝70° のとき、弧AB（角の内部にある弧）に対する円周角∠ACBも70°になっています。

このように、接点を通る弦と接線が作る角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しいです。

これを接弦定理といいます。

例題2を解こう

\(\alpha\) は、接線ℓと弦ACが作る角です。

この角の内部にある弧は、弧ACです。

弧ACに対する円周角は、点Bから見た∠ABCです。

接弦定理より、\(\alpha\) は∠ABCに等しくなります。

\(\alpha=\angle \mathrm{ABC}=\color{#EE4656}{60^\circ}\)

④ 方べきの定理

[1] 2直線が円と2点ずつで交わるとき

点Pを通る2直線が、円とそれぞれ2点A，Bと2点C，Dで交わるとします。

たとえば PA＝2，PB＝6，PC＝3，PD＝4 のとき、PA・PB＝12，PC・PD＝12 となり、積が等しくなっています。

一般に、PA・PB＝PC・PD が成り立ちます。

これを方べきの定理といいます。

点Pが円の内部にあっても外部にあっても成り立ちます。

例題3(1)を解こう

2つの弦が円の内部の点Pで交わっているので、方べきの定理[1]を使います。

PA・PB＝PC・PD

\(4\cdot 6=3x\)　より　\(x=\color{#EE4656}{8}\)

例題3(2)を解こう

今度は点Pが円の外部にあります。

PBは PA＋AB＝\(x+1\)、PDは PC＋CO＋OD＝2＋2＋2＝6 です。

\(x(x+1)=2\cdot 6\)

展開すると \(x^2+x-12=0\) となり、\((x+4)(x-3)=0\) です。

\(x\) は長さなので正の数であり、\(x=\color{#EE4656}{3}\) となります。

[2] 一方が接線のとき

点Pを通る直線のうち、一方が円と2点A，Bで交わり、もう一方が点Tで接するときは、PA・PB＝PT² が成り立ちます。

[1]で2点C，Dが重なって1点Tになったと考えると、PC・PD が PT・PT＝PT² になるイメージです。

例題4を解こう

PB＝PA＋AB＝3＋5＝8 です。

直線PTは接線なので、方べきの定理[2]より　PA・PB＝PT²　です。

\(3\cdot 8=x^2\)　より　\(x^2=24\)

\(x>0\) なので、\(x=\color{#EE4656}{2\sqrt{6}}\) です。

練習問題

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辺AD，AB，BC，CDと円の接点をそれぞれP，Q，R，Sとすると、接線の長さは等しいから　AP＝AQ，BQ＝BR，CR＝CS，DS＝DP

よって　AB＋CD＝AQ＋BQ＋CS＋DS＝AP＋BR＋CR＋DP＝AD＋BC

\(7+8=x+9\)　より　\(x=\color{#EE4656}{6}\)

答えを見る

CB＝CA より、△CABは二等辺三角形であるから　∠CAB＝∠CBA＝51°

よって　∠ACB＝180°－51°×2＝78°

接弦定理より、\(\alpha\) は弧ABに対する円周角∠ACBに等しいから　\(\alpha=\color{#EE4656}{78^\circ}\)

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(1) PC＝\(r\)＋PO，PD＝\(r\)－PO である。方べきの定理より

\(\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}=(r+\mathrm{PO})(r-\mathrm{PO})=\color{#EE4656}{r^2-\mathrm{PO}^2}\)

(2) PC＝PO－\(r\)，PD＝PO＋\(r\) である。方べきの定理より

\(\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}=(\mathrm{PO}-r)(\mathrm{PO}+r)=\color{#EE4656}{\mathrm{PO}^2-r^2}\)

まとめ：円と接線・方べきの定理