【数学B】統計的な推測06：母比率の推定

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

A政党の支持者の割合を信頼度95%で推定すると？

母比率の推定とは？

母平均の推定では、標本平均 \(\overline{X}\) を中心に、左右に \(1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) の幅をとりました。

母比率の推定では、標本比率 \(R\) を中心に、左右に \(1.96\) と標本比率の標準偏差をかけた幅をとります。

まずは例題1の数字で、幅を求めてみましょう。

標本比率は　\(R=\frac{144}{400}=\color{#3CB371}{0.36}\)、標本の大きさは \(n=400\) です。

標本比率の標準偏差は、次のように求めます。

\(\sqrt{\frac{\color{#3CB371}{0.36}\times(1-\color{#3CB371}{0.36})}{400}}=\frac{0.6\times 0.8}{20}=\color{#F39800}{0.024}\)

よって、幅は　\(1.96\times \color{#F39800}{0.024}=0.04704\)　です。

これを文字の式にまとめると、母比率 \(p\) に対する信頼度95%の信頼区間は次のようになります。

ここで、\(R\) は標本比率、\(n\) は標本の大きさです。

標本の大きさ \(n\) が大きくなるほど、標本比率 \(R\) は母比率 \(p\) に近づいていきます。

これを大数の法則といいます。

そのため、\(n\) が大きいときは、\(p(1-p)\) を \(R(1-R)\) としてよいのです。

信頼度95%の意味

母平均の推定と同じく、信頼度95%とは、標本を取り直して同じ手順で区間を何度も作ると、そのうち95%の区間が母比率 \(p\) を含むという意味です。

信頼区間を求めよう

標本比率を求める

400人中144人が支持者なので、標本比率は　\(R=\frac{144}{400}=\color{#3CB371}{0.36}\)　です。

誤差の幅を求める

400は十分大きいので、\(p(1-p)\) の代わりに \(R(1-R)\) を使います。

\(\sqrt{\frac{\color{#3CB371}{0.36}\times(1-\color{#3CB371}{0.36})}{400}}=\frac{0.6\times 0.8}{20}=\color{#F39800}{0.024}\)

\(1.96\times \color{#F39800}{0.024}=0.04704\)

信頼区間を求める

標本比率 \(\color{#3CB371}{0.36}\) から左右に0.04704の幅をとると、信頼区間は

となります。小数第4位を四捨五入すると、　\([0.313,\ 0.407]\)　です。

つまり、A政党の支持者の割合は、信頼度95%で約31%から約41%と推定できます。

練習問題

答えを見る

標本比率は　\(R=\frac{96}{2400}=\color{#3CB371}{0.04}\)　である。

\(\sqrt{\frac{\color{#3CB371}{0.04}\times(1-\color{#3CB371}{0.04})}{2400}}=\sqrt{0.000016}=\color{#F39800}{0.004}\)

\(1.96\times \color{#F39800}{0.004}=0.00784\)

よって、信頼度95%の信頼区間は

\(\begin{aligned}&[\color{#3CB371}{0.04}-0.00784,\ \color{#3CB371}{0.04}+0.00784]\\[8pt]&=[0.03216,\ 0.04784]\end{aligned}\)

小数第4位を四捨五入して　\([0.032,\ 0.048]\)

まとめ：母比率の推定