【数学B】統計的な推測05：母平均の推定

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

製品の重さの平均値を信頼度95%で推定すると？

信頼区間とは？

このように、抽出した標本の平均から母集団の平均（母平均 \(m\)）を推定することを考えます。

母集団の情報がある確率で収まると考えられる範囲を信頼区間といい、その確率を信頼度といいます。

信頼度95%の信頼区間は、標本平均 \(\overline{X}\) を中心にして、左右に同じ幅 \(a\) をとった範囲になります。

まずは例題1の数字で、信頼区間がどのように決まるかを見てみましょう。

標本平均は \(\overline{X}=\color{#3CB371}{98.8}\)、標本の大きさは \(n=400\)、標準偏差は \(\color{#F39800}{2.0}\) なので、幅 \(a\) は次のように求めます。

\(a=1.96\times\frac{\color{#F39800}{2.0}}{\sqrt{400}}=0.196\)

よって、信頼区間は　\([\color{#3CB371}{98.8}-0.196,\ \color{#3CB371}{98.8}+0.196]\)　となります。

これを文字の式にまとめると、母平均 \(m\) に対する信頼度95%の信頼区間は次のようになります。

ここで、\(\overline{X}\) は標本平均、\(n\) は標本の大きさ、\(\sigma\) は母標準偏差です。

例題1で使った標準偏差 \(\color{#F39800}{2.0}\) は、400個の標本から求めた標本標準偏差 \(\color{#F39800}{s}\) です。

\(n\) が大きいとき、標本標準偏差は母標準偏差に近い値になるので、\(\sigma\) の代わりに使えます。

信頼度95%の意味

信頼度95%というのは、「求めた区間に \(m\) が95%の確率で入っている」という意味ではありません。

標本を取り直して、同じ手順で区間を何度も作ると、そのうち95%の区間が母平均 \(m\) を含むという意味です。

信頼区間を求めよう

標本の値を確認する

標本の大きさは \(n=400\)、標本平均は \(\overline{X}=\color{#3CB371}{98.8}\)、標本標準偏差は \(\color{#F39800}{s}=\color{#F39800}{2.0}\) です。

400は十分大きいので、母標準偏差の代わりに \(\color{#F39800}{s}=\color{#F39800}{2.0}\) を使います。

誤差の幅を求める

\(1.96\times\frac{\color{#F39800}{2.0}}{\sqrt{400}}=1.96\times\frac{2.0}{20}=0.196\)

信頼区間を求める

標本平均 \(\color{#3CB371}{98.8}\) から左右に0.196の幅をとると、信頼区間は

となります。小数第2位を四捨五入すると、　\([98.6,\ 99.0]\)　です。

つまり、この製品の重さの平均値は、信頼度95%で98.6g以上99.0g以下と推定できます。

練習問題

答えを見る

標本の大きさは \(n=100\)、標本平均は \(\overline{X}=\color{#3CB371}{103.4}\)、標本標準偏差は \(\color{#F39800}{s}=\color{#F39800}{1.5}\) である。

100は十分大きいから、母標準偏差の代わりに \(\color{#F39800}{s}=\color{#F39800}{1.5}\) を用いると、

\(1.96\times\frac{\color{#F39800}{1.5}}{\sqrt{100}}=1.96\times 0.15=0.294\)

よって、信頼度95%の信頼区間は

\(\begin{aligned}&[\color{#3CB371}{103.4}-0.294,\ \color{#3CB371}{103.4}+0.294]\\[8pt]&=[103.106,\ 103.694]\end{aligned}\)

小数第2位を四捨五入して　\([103.1,\ 103.7]\)

答えを見る

練習1と同じく、\(n=100\)、\(\overline{X}=\color{#3CB371}{103.4}\)、\(\color{#F39800}{s}=\color{#F39800}{1.5}\) であるから、

\(2.58\times\frac{\color{#F39800}{1.5}}{\sqrt{100}}=2.58\times 0.15=0.387\)

よって、信頼度99%の信頼区間は

\(\begin{aligned}&[\color{#3CB371}{103.4}-0.387,\ \color{#3CB371}{103.4}+0.387]\\[8pt]&=[103.013,\ 103.787]\end{aligned}\)

小数第2位を四捨五入して　\([103.0,\ 103.8]\)

まとめ：母平均の推定