【数学Ⅱ】微分07：3次関数の極値から係数決定

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

「極値をとる」と「f′=0」の関係

関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で極値をとるとき、そこでの接線は水平になるから \(f'(a)=0\) が成り立つ。

たとえば \(f(x)=x^3\) は \(f'(0)=0\) だけど、\(x=0\) で極値をとらない（ずっと増加していく）。

だから \(f'(a)=0\) を使って係数を求めたあとは、必ず増減表を作って、本当に極値になっているか（十分性）を確認する必要があるんだ。

係数決定の手順

ステップ1：条件を式にする

「\(x=a\) で極値」→ \(f'(a)=0\)、「その極値が \(k\)」→ \(f(a)=k\)。

この2つを式にする。

ステップ2：連立して係数を求める

ステップ1で作った2つの式を連立して、未知の係数（\(a\)、\(b\) など）を求める。

ステップ3：増減表で十分性を確認

求めた関数で増減表を作り、指定された場所が本当に極大・極小になっているかを確かめる。

ここまでやって答えが確定する。

例題：x=2 で極小値 −6 をとる3次関数

考え方

まず導関数は \(f'(x)=3x^2+a\)。

「\(x=2\) で極値」だから \(f'(2)=0\)：\(3\cdot2^2+a=0\) より \(12+a=0\)。

「\(x=2\) での値が \(-6\)」だから \(f(2)=-6\)：\(2^3+2a+b=-6\) より \(8+2a+b=-6\)。

解いてみよう

\(12+a=0\) より \(a=-12\)。

これを \(8+2a+b=-6\) に代入すると \(8-24+b=-6\)、よって \(b=10\)。

このとき \(f(x)=x^3-12x+10\) だから \(f'(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)\)。

\(f'(x)=0\) とすると \(x=\pm2\)。

増減表より、確かに \(x=2\) で極小値 \(-6\) をとっているね。

そして \(x=-2\) で極大値をとる。

\(f(-2)=(-2)^3-12\cdot(-2)+10=-8+24+10=26\)。

よって \(a=-12\)、\(b=10\)、極大値は \(26\)（\(x=-2\) のとき）。

練習問題

答えを見る

\(f'(x)=3x^2+2ax-9\)

\(x=-1\) で極値をとるから \(f'(-1)=0\)：\(3-2a-9=0\) より \(a=-3\)

また \(f(-1)=8\)：\(-1+a+9+b=8\) より \(a+b=0\)、よって \(b=3\)

このとき \(f(x)=x^3-3x^2-9x+3\)、\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\)、\(f'(x)=0\) とすると \(x=-1,\,3\)

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(3\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	↗	極大 \(8\)	↘	極小 \(-24\)	↗

増減表より、確かに \(x=-1\) で極大値 \(8\) をとる。

よって \(a=-3\)、\(b=3\)、\(x=3\) で極小値 \(-24\)

まとめ：3次関数の極値から係数決定