今日の板書はこれ！
⚡ \(\log\) を含む関数の最大・最小は、\(\log_a x\) をひとかたまりと見て \(t\) に置きかえ、見慣れた2次関数の問題に直すのが基本だよ。
① 置換：\(\log_a x=t\) とおく（\(\log_a x^k=k\log_a x\) で log の形をそろえてから）。
② 置換後の t の範囲を必ず求める：\(x\) の範囲を \(t\) の範囲に翻訳する。ここを忘れると答えがずれる。
③ 平方完成：\(t\) の2次関数にして頂点と端点で最大・最小を判定し、最後に \(t\) を \(x\) にもどす。
\(1\leq x\leq 8\) のとき、関数 \(y=(\log_2 x)^2-2\log_2 x\) の最大値と最小値を求めよ。
▼ 解答
\(\log_2 x=t\) とおくと、\(1\leq x\leq 8\) より \(0\leq t\leq 3\)。
\(y=t^2-2t=(t-1)^2-1\)。
よって 最大値 3（\(x=8\)）、最小値 \(-1\)（\(x=2\)）。
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対数関数の最大・最小の考え方
今回は \(\log\) を含む関数の最大・最小だよ。一見むずかしそうだけど、ある工夫でいつもの2次関数に早変わりするんだ。
\(\log\) のままだと、どう動くのか全然イメージできません…
そうだよね。だから \(\log_a x\) をまるごと1つの文字 \(t\) に置きかえてしまうんだ。そうすると \(t\) の2次関数になるよ。
その1：logをひとかたまりで置きかえる
たとえば \(y=(\log_2 x)^2-2\log_2 x\) を見てみよう。
\(\log_2 x\) が2回出てきているね。
この \(\log_2 x\) を \(t\) とおくと、\(y=t^2-2t\) というシンプルな2次関数になる。
\(\log_2 x\) を \(t\) と見れば \(y=t^2-2t\)。これならグラフの形も最大・最小もすぐ分かるよね。
置きかえる前に、\(\log_a x^k=k\log_a x\) を使って log の形をそろえておくのがコツだよ。
たとえば \(\log_2 x^2\) は \(2\log_2 x\)、\(\log_3 x^4\) は \(4\log_3 x\) と直してから置きかえる。
その2：置きかえたら「tの範囲」を必ず確認する
ここが一番大事！ \(t=\log_a x\) と置きかえたら、\(t\) がどんな範囲を動くのかを必ず求めるんだ。
\(x\) には \(1\leq x\leq 8\) のような定義域がある。
これをそのまま \(t\) の世界に翻訳しよう。
底が1より大きい log は右上がり（\(x\) が増えると値も増える）だから、\(x\) の両端を log に入れれば \(t\) の両端になる。
さっきの例なら、\(x=1\) のとき \(t=\log_2 1=0\)、\(x=8\) のとき \(t=\log_2 8=3\)。
だから \(t\) の範囲は \(0\leq t\leq 3\) だ。
なるほど、\(x\) の範囲を \(t\) の範囲に置きかえるんですね。
そう！ この範囲を忘れると、2次関数の最大・最小を全範囲で考えてしまって答えがずれるよ。置換したら範囲もセットで、が合言葉だね。
その3：平方完成して頂点と端で決める
\(t\) の範囲が分かれば、あとは2次関数の最大・最小そのもの。
平方完成して頂点の場所をおさえ、頂点と両端の値をくらべればいい。
\(y=t^2-2t=(t-1)^2-1\)。
頂点は \(t=1\) で、下に凸だから頂点が最小。
\(0\leq t\leq 3\) に \(t=1\) は入っているので 最小値は \(-1\)。
最大は両端をくらべる。
\(t=0\) で \(y=0\)、\(t=3\) で \(y=3\)。
大きいのは \(t=3\) の方だから 最大値は 3。
最後に \(t\) を \(x\) にもどすと、\(t=1\Leftrightarrow x=2\)、\(t=3\Leftrightarrow x=8\) だね。
練習1：置きかえて2次関数にする
\(1\leq x\leq 27\) のとき、関数 \(y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4-1\) について答えよう。
(1) \(\log_3 x=t\) とおくとき、\(t\) のとりうる値の範囲を求め、\(y\) を \(t\) の関数で表せ。
(2) この関数の最大値と最小値、そのときの \(x\) の値を求めよ。
(1) tの範囲と y=… を求める
まず \(\log_3 x^4\) を log の形にそろえよう。\(\log_3 x^4=4\log_3 x\) だね。
\(\log_3 x=t\) とおくと \(\log_3 x^4=4t\) だから、\(y=t^2-4t-1\) となる。
次に \(t\) の範囲。
\(1\leq x\leq 27\) で、\(x=1\) のとき \(t=\log_3 1=0\)、\(x=27\) のとき \(t=\log_3 27=3\)。
だから \(0\leq t\leq 3\)。
まとめると (1) の答えは \(0\leq t\leq 3\)、\(y=t^2-4t-1\) だ。
(2) 平方完成して最大・最小
\(y=t^2-4t-1=(t-2)^2-5\)。
下に凸で頂点は \(t=2\)。
\(0\leq t\leq 3\) に \(t=2\) は入っているから、頂点が最小で 最小値 \(-5\)。
最大は両端。
\(t=0\) で \(y=-1\)、\(t=3\) で \(y=9-12-1=-4\)。
大きいのは \(t=0\) だから 最大値 \(-1\)。
\(t\) を \(x\) にもどそう。
最小の \(t=2\) は \(\log_3 x=2\)、つまり \(x=9\)。
最大の \(t=0\) は \(\log_3 x=0\)、つまり \(x=1\)。
答えを見る
(1) \(0\leq t\leq 3\)、\(y=t^2-4t-1\)
(2) \(x=1\) で最大値 \(-1\)、\(x=9\) で最小値 \(-5\)。
範囲を \(0\leq t\leq 3\) に直したから、頂点がちゃんと使えたんですね。
練習2：もう一問で仕上げ
\(1\leq x\leq 16\) のとき、関数 \(y=(\log_2 x)^2-\log_2 x^2\) の最大値と最小値、そのときの \(x\) の値を求めよう。
置きかえと範囲
\(\log_2 x^2=2\log_2 x\) だから、\(\log_2 x=t\) とおくと \(y=t^2-2t\) だよ。
\(t\) の範囲は、\(x=1\) で \(t=0\)、\(x=16\) で \(t=\log_2 16=4\) より \(0\leq t\leq 4\)。
平方完成して決める
\(y=t^2-2t=(t-1)^2-1\)。
頂点 \(t=1\) は範囲内で下に凸だから 最小値 \(-1\)。
最大は両端。
\(t=0\) で \(y=0\)、\(t=4\) で \(y=16-8=8\)。
よって 最大値 8。
\(t\) を \(x\) にもどすと、\(t=1\) は \(x=2\)、\(t=4\) は \(x=16\)。
答えを見る
\(x=16\) で最大値 8、\(x=2\) で最小値 \(-1\)。
やることは練習1と同じ！ 置きかえ→範囲→平方完成の流れがつかめました。
まとめ：対数関数の最大と最小
さて、今回のまとめだよ！
① \(\log_a x=t\) とおいて、log を含む関数を \(t\) の2次関数にする。
② 置きかえたら t のとりうる範囲を必ず求める（\(x\) の定義域 → \(t\) の範囲）。
③ 平方完成して頂点と端点で最大・最小を判定し、最後に \(t\) を \(x\) にもどす。
また一つ賢くなった！
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