今日の板書はこれ！
データの散らばり（ちらばり）を表す指標を整理する。
範囲 ＝ 最大値 − 最小値
四分位数：値を小さい順に並べ、全体を4等分する位置にくる3つの数。小さい方から第1四分位数 \(Q_1\)、第2四分位数 \(Q_2\)（＝中央値）、第3四分位数 \(Q_3\)。
四分位範囲 ＝ \(Q_3 – Q_1\)
四分位偏差 ＝ \(\frac{Q_3 – Q_1}{2}\)
外れ値：他の値から極端に離れた値。
箱ひげ図：最小値・\(Q_1\)・\(Q_2\)・\(Q_3\)・最大値（5数要約）を、箱とひげで一目で分かるように表した図。
用語がいっぱい出てきた…！もっと詳しくお願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。
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でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。
意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！
散らばりを「数」で表す ― 範囲・四分位数とは？
前回は平均値・中央値・最頻値という「データの中心」を表す代表値を学んだね。
はい！データを1つの値で代表させるやつですね。
そう。でも中心が同じでも、データの「散らばり具合」はまったく違うことがあるんだ。今回はその散らばりを数で表す方法を学んでいくよ。
たとえば、次の2つのデータを見てみよう。
どちらも平均値50・中央値50で、中心は同じだ。
| データ | 並べた値 | 平均値 | 中央値 |
|---|---|---|---|
| A | 0, 10, 20, …, 90, 100 | 50 | 50 |
| B | 25, 30, 35, …, 70, 75 | 50 | 50 |
中心は同じなのに、Aの方が広くばらついてますね。
その通り！この「広がりの違い」を数値にするのが、今日のテーマだよ。
範囲 ― いちばんシンプルな散らばりの指標
まずは一番かんたんな指標、範囲から。最大値から最小値を引くだけだよ。
範囲 ＝ 最大値 − 最小値 で求める。
値がどれだけ広い区間に散らばっているかを表す、もっとも素朴な指標だ。
次のデータは、ある年のA町における月ごとの雨の日数である。このデータの範囲を求めよ。
9, 8, 9, 12, 17, 23, 15, 13, 19, 22, 9, 9 （日）
考え方と解答
最大値と最小値を見つけて、引き算するだけだよ。
最大値は23、最小値は8。
よって 範囲 ＝ \(23 – 8 = 15\)（日）となる。
引き算だけ！これは簡単です。
ただし範囲は外れ値（極端に大きい・小さい値）に大きく影響されるという弱点があるんだ。だから次の四分位数を使うことが多いよ。
四分位数（Q₁・Q₂・Q₃）の求め方
次は四分位数。データを小さい順に並べて、全体を4等分する位置にくる3つの数のことだよ。
小さい方から順に、第1四分位数 \(Q_1\)、第2四分位数 \(Q_2\)、第3四分位数 \(Q_3\) という。
\(Q_2\) は、ちょうど真ん中の値なので中央値そのものだ。
\(Q_1\) は下半分のデータの中央値、\(Q_3\) は上半分のデータの中央値として求める。
Q2が中央値なら、Q1は下半分の真ん中、Q3は上半分の真ん中ってことですね。
その理解でバッチリ！実際に例題で求めてみよう。
次のデータは、10人の生徒に100点満点のテストを行った結果である（点）。第1四分位数・第2四分位数・第3四分位数を求めよ。
21, 30, 36, 38, 41, 45, 52, 58, 60, 72
考え方と解答
データは10個で、もう小さい順に並んでいるね。まず真ん中（中央値）を探すよ。
データは10個（偶数個）なので、中央値 \(Q_2\) は5番目と6番目の平均で、\(Q_2 = \frac{41 + 45}{2} = 43\)（点）。
下半分の5個（21, 30, 36, 38, 41）の中央値が \(Q_1\) で、その真ん中は3番目なので \(Q_1 = 36\)（点）。
上半分の5個（45, 52, 58, 60, 72）の中央値が \(Q_3\) で、\(Q_3 = 58\)（点）となる。
下半分と上半分に分けて、それぞれの真ん中を見ればいいんですね！
四分位範囲と四分位偏差
四分位数が分かると、散らばりを表す2つの値が計算できるよ。
四分位範囲 ＝ \(Q_3 – Q_1\)。
これは、データの真ん中50%がどれくらいの幅に収まっているかを表す。
四分位偏差 ＝ \(\frac{Q_3 – Q_1}{2}\)。
四分位範囲の半分で、中央値まわりの散らばりを数値化したものだ。
範囲とちがって、四分位範囲は外れ値の影響を受けにくいのが大きな長所なんだ。
さきほどの例題2のデータについて、四分位範囲と四分位偏差を求めよ。
解答
四分位範囲 ＝ \(Q_3 – Q_1 = 58 – 36 = 22\)（点）。
四分位偏差 ＝ \(\frac{Q_3 – Q_1}{2} = \frac{22}{2} = 11\)（点）となる。
真ん中50%が22点の幅に収まっている、というイメージですね。
箱ひげ図 ― 5数要約を一目で表す
ここまでの「最小値・\(Q_1\)・\(Q_2\)・\(Q_3\)・最大値」の5つをまとめて5数要約というよ。これを図にしたのが箱ひげ図だ。
箱ひげ図では、\(Q_1\) から \(Q_3\) までを箱で表し（箱の長さが四分位範囲）、箱の中の線が中央値 \(Q_2\)、箱から伸びるひげの端が最小値と最大値を表す。
複数のデータを比べやすくするため、必要ならば平均値を「＋」の記号で書き込むこともある。
箱の左右がQ1とQ3で、まんなかの線が中央値、ひげの先が最小・最大なんですね。
そう！箱ひげ図を見れば、散らばり方が一目で分かるんだ。四分位数はデータの個数を4等分しているので、箱の中（Q1〜Q3）には全体の約50%、各区間にはそれぞれ約25%のデータが入っているよ。
ヒストグラムと箱ひげ図の関係
前回やったヒストグラムと、今回の箱ひげ図には深いつながりがあるんだよ。
ヒストグラムは、データの個数を面積で表したものだった。
これは、データの個数を箱とひげで表した箱ひげ図と対応している。
つまり、ヒストグラムの面積を4等分する位置が \(Q_1, Q_2, Q_3\) になっている、と考えるとイメージしやすい。
ヒストグラムが左右に偏ると、箱ひげ図の箱の位置もズレるんですね。
その通り！箱ひげ図を見れば、おおよそのヒストグラムの形も想像できるようになるよ。
箱ひげ図でデータを比較する
箱ひげ図の本当の威力は、複数のデータを並べて比べるときに発揮されるんだ。
次のデータは、東京と大阪について、2007年から2018年までの最低気温が25℃以上であった日数を、1年ごとに集計した結果である。箱ひげ図を並べて書き、読み取れることを述べよ。
5数要約の表
それぞれのデータを小さい順に並べ、5数要約を求めると次のようになる（単位：日）。
| 最小値 | \(Q_1\) | \(Q_2\) | \(Q_3\) | 最大値 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 東京 | 10 | 22.5 | 30.0 | 45.5 | 56 |
| 大阪 | 25 | 35.5 | 45.5 | 49.0 | 56 |
★【画像4】page-16 の東京と大阪の箱ひげ図を並べた図をここに挿入
読み取れること
箱ひげ図全体が、大阪の方が値の大きい側に分布している。
つまり、最低気温が25℃以上だった日数は大阪の方が多い。
中央値まわりの散らばり（箱の長さ＝四分位範囲）は東京の方が大きく、大阪は45日以上の年の数が東京の約2倍ある。
表の数字だけより、箱ひげ図で並べた方が違いがパッと分かりますね！
まさにそれが箱ひげ図の長所だよ。練習として、同じ年の名古屋（30, 28, 13, 48, 40, 30, 30, 22, 25, 21, 30, 49 日）の箱ひげ図も書いて、3都市を比べてみよう。
外れ値の判定
最後に外れ値の話。他の値から極端に離れた値のことだけど、「どこからが外れ値か」には基準が必要だよね。
外れ値の判定にはいくつか基準があるが、よく使われるのは四分位範囲を使う次の基準だ。
次のどちらかにあてはまる値を外れ値とすることが多い。
・第1四分位数 \(- 1.5 \times (\text{四分位範囲})\) 以下の値
・第3四分位数 \(+ 1.5 \times (\text{四分位範囲})\) 以上の値
次のデータの外れ値を求めよ。
12, 16, 28, 32, 35, 36, 39, 41, 45, 47, 50, 62, 65, 99
考え方と解答
まず5数要約を求めて、四分位範囲を計算するよ。
5数要約は、最小値12、\(Q_1 = 32\)、\(Q_2 = 40\)、\(Q_3 = 50\)、最大値99となる。
四分位範囲 ＝ \(Q_3 – Q_1 = 50 – 32 = 18\)。
よって \(1.5 \times 18 = 27\) を使って判定する。
\(Q_1 – 27 = 5\) 以下の値と、\(Q_3 + 27 = 77\) 以上の値が外れ値となる。
データの中で77以上なのは99だけなので、外れ値は99である。
99だけポツンと離れてる！基準で計算するとちゃんと外れ値って分かるんですね。
まとめ：箱ひげ図と四分位数
さて、今回のまとめだよ！
範囲 ＝ 最大値 − 最小値。
四分位数 \(Q_1, Q_2, Q_3\) は、データを小さい順に並べて4等分する位置の値（\(Q_2\) は中央値）。
四分位範囲 ＝ \(Q_3 – Q_1\)、四分位偏差 ＝ \(\frac{Q_3 – Q_1}{2}\)。
箱ひげ図は5数要約を図にしたもの。箱の長さが四分位範囲、ひげの端が最小値・最大値。
外れ値の判定の一例：\(Q_1 – 1.5 \times (\text{四分位範囲})\) 以下、または \(Q_3 + 1.5 \times (\text{四分位範囲})\) 以上の値。
散らばりの表し方と箱ひげ図、バッチリ分かりました！また一つ賢くなった！
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