今日の板書はこれ！
2次不等式の解が すべての実数 になる、または 解なし になる条件を、グラフで考える。
2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフが \(x\) 軸とどう交わるかは、判別式 \(D=b^2-4ac\) で決まる。
「グラフが \(x\) 軸とまったく交わらない」 \(\Leftrightarrow\) 「実数解をもたない」 \(\Leftrightarrow\) \(\color{red}{D<0}\)
\(a\neq 0\) のとき、グラフの開き方（\(a\) の符号）と組み合わせて：
・ 常に \(ax^2+bx+c>0\)（解がすべての実数）\(\Leftrightarrow\) \(\color{red}{a>0}\) かつ \(\color{red}{D<0}\)
・ 常に \(ax^2+bx+c<0\)（解なし）\(\Leftrightarrow\) \(\color{red}{a<0}\) かつ \(\color{red}{D<0}\)
2次不等式 \(x^2+2mx+m+2>0\) の解が すべての実数 であるとき、定数 \(m\) の値の範囲を求めよ。
▼ 解答
\(f(x)=x^2+2mx+m+2\) とおく。
\(y=f(x)\) は 下に凸 なので、すべての実数で \(f(x)>0\) となる条件は 頂点が \(x\) 軸より上、つまり \(D<0\) である。
判別式 \(\frac{D}{4}=m^2-(m+2)=m^2-m-2\)
\(D<0\) より \(m^2-m-2<0\)、すなわち \((m-2)(m+1)<0\)
よって \(\color{red}{-1<m<2}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
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すべての実数に対して成り立つ2次不等式って何？
今日のテーマは 「絶対不等式」 って呼ばれるやつだよ。例えば 2次不等式 \(x^2+2mx+m+2>0\) の解が「すべての実数」になるためには、\(m\) がどんな値ならいいのかを考える問題。
「すべての実数」が解ってどういう意味ですか？普通は \(x<1\) とか \(2<x<5\) みたいに範囲が出ますよね？
そうそう、普通は不等式を解くと「\(x\) のとり得る範囲」が出るよね。でも今回は どんな \(x\) を入れても不等式が成り立つ 状態を考える。つまり、グラフが 絶対に \(x\) 軸より上 にあれば、どんな \(x\) を入れても \(y>0\) になるよね。
あー！グラフ全体が \(x\) 軸の上にあれば、確かに常に正ですね。
2次不等式はグラフで図形的に考えよう
2次不等式が出てきたら、まずは 2次関数のグラフを思い浮かべるのがコツ。「\(>0\) になる \(x\) の範囲」って、グラフが \(x\) 軸より上にある \(x\) の範囲のことだからね。
グラフでイメージしよう
「解が すべての実数」というのは、グラフがどの \(x\) でも \(x\) 軸より上にある（または下にある）状態のこと。
図にすると、こんなイメージになるよ。
左側は 常に \(f(x)>0\)（グラフが \(x\) 軸より上）、右側は 常に \(f(x)<0\)（グラフが \(x\) 軸より下）の状態だね。どちらも グラフが \(x\) 軸と1点も交わらない のがポイント。
「交わらない」って判別式で言えるよね？
「\(x\) 軸と交わらない」ってことは…実数解をもたないってことですよね？
その通り！「2次方程式の実数解の個数」のところで習った 判別式 \(D=b^2-4ac\) を使えば、
「\(x\) 軸と交わらない」 \(\Leftrightarrow\) 「2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) が実数解をもたない」 \(\Leftrightarrow\) \(\color{red}{D<0}\) と言える。
判別式のところで習った \(D<0\) のときグラフが \(x\) 軸と交わらない、ってやつが効いてくるんですね！
条件を整理：a の符号と判別式 D のセット
ここで重要なのが「\(a\) の符号」と「判別式 \(D\)」を セットで考える こと。グラフの形（下に凸 or 上に凸）と、頂点の位置（\(x\) 軸の上 or 下）の両方が決まらないと、グラフが \(x\) 軸より「常に上」か「常に下」かが決まらないからね。
[1] 下に凸（a>0）のとき
下に凸の放物線が \(x\) 軸と交わらないと、グラフは 必ず \(x\) 軸より上 にある（頂点が一番下なので、頂点が \(x\) 軸より上なら全体が上）。
だから、「常に \(ax^2+bx+c>0\)（解がすべての実数）」 \(\Leftrightarrow\) \(\color{red}{a>0}\) かつ \(\color{red}{D<0}\) となる。
[2] 上に凸（a<0）のとき
上に凸の放物線が \(x\) 軸と交わらないと、グラフは 必ず \(x\) 軸より下 にある（頂点が一番上なので、頂点が \(x\) 軸より下なら全体が下）。
だから、「常に \(ax^2+bx+c<0\)（解なし、つまり \(>0\) の解はゼロ個）」 \(\Leftrightarrow\) \(\color{red}{a<0}\) かつ \(\color{red}{D<0}\) となる。
共通してるのは \(D<0\) で、あとは \(a\) の符号と不等号の向きが セットで揃う ってことですね！
そう。「常に正」なら下に凸、「常に負」なら上に凸。不等号の向きに合わせて \(a\) の符号も決まるんだよ。
例題：解がすべての実数になる m の範囲
2次不等式 \(x^2+2mx+m+2>0\) の解が すべての実数 であるとき、定数 \(m\) の値の範囲を求めよ。
考え方：何の条件を満たせばいい？
まず左辺 \(x^2+2mx+m+2\) の \(x^2\) の係数 を見よう。係数は \(1\) で正なので、グラフは 下に凸 だね。
下に凸の放物線が「常に \(>0\)」になるのは、さっき整理したとおり 頂点が \(x\) 軸より上、つまり \(D<0\) のとき。今回は \(a\) の符号は元から正なので、残る条件は \(D<0\) だけだよ。
じゃあ判別式 \(D\) を計算して \(D<0\) を解けばいいんですね！
実際に解いてみよう
2次方程式 \(x^2+2mx+m+2=0\) の判別式を \(D\) とおく。
\(b=2m\) のように \(b\) が偶数 のときは \(\frac{D}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac\) を使うと計算がラクだよ。
\(\frac{D}{4}=m^2-1\cdot(m+2)=m^2-m-2\)
求める条件は \(D<0\)、つまり \(\frac{D}{4}<0\) なので、
\(m^2-m-2<0\)
左辺を因数分解すると \((m-2)(m+1)<0\)
よって \(\color{red}{-1<m<2}\)
図でいうと、下に凸の放物線がスッと \(x\) 軸より上に浮いている状態。\(m\) が \(-1\) と \(2\) のあいだのときだけ、グラフが \(x\) 軸と交わらず、どの \(x\) を入れても \(y>0\) になるんだ。
「\(a\) の符号は元から決まってる → あとは \(D<0\) を解くだけ」って手順なら、絶対不等式の問題はわりとあっさり解けますね！
まとめ：すべての実数に対して成り立つ2次不等式
さて、今回のまとめだよ！
2次不等式 \(ax^2+bx+c>0\) や \(ax^2+bx+c<0\) の解が「すべての実数」あるいは「なし」となる条件は、グラフが \(x\) 軸とどう交わるか をイメージして判別式で考える。
・ 「常に \(>0\)」 \(\Leftrightarrow\) 下に凸（\(a>0\)）かつ 頂点が \(x\) 軸より上（\(D<0\)）
・ 「常に \(<0\)」 \(\Leftrightarrow\) 上に凸（\(a<0\)）かつ 頂点が \(x\) 軸より下（\(D<0\)）
共通するのは \(D<0\)（\(x\) 軸と交わらない）という条件。
「不等号の向き」と「\(a\) の符号」だけが セットで決まる と覚えるとミスが減る。
また一つ賢くなった！
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