【数学Ⅱ】三角関数01：一般角と弧度法

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。

一般角とは？（動径と始線で角を考える）

動径と始線

平面上に点 O を決めて、O を端点とする半直線を考えます。

この半直線を、点 O を中心にして回転させたものを 動径（どうけい）といいます。

そして、回転を測るときの基準になる最初の半直線を 始線（しせん）といいます。

角とは「始線から動径をどれだけ回したか」を表す量だと考え直すのがポイントです。

正の角と負の角

回転には向きがあります。

反時計回りに回したときの角を 正の角、時計回りに回したときの角を 負の角 とします。

たとえば反時計回りに 90° 回せば \(+90^\circ\)、時計回りに 90° 回せば \(-90^\circ\) です。

360°回ると元に戻る ― 一般角の表し方

動径は 360° 回ると 1 周してもとの位置に戻ります。

ということは、ある角 \(\theta\) の動径と、そこからさらに何周か回した角の動径は、同じ位置にあります。

これを式で書くと \(\color{red}{\theta + 360^\circ \times n}\)（\(n\) は整数）です。

たとえば \(60^\circ\) の動径は、\(420^\circ\)（\(=60^\circ + 360^\circ\)）や \(-300^\circ\)（\(=60^\circ – 360^\circ\)）の動径と同じ位置にあります。

例題で確認しよう

順に調べます。

\(420^\circ – 60^\circ = 360^\circ\)、\(1140^\circ – 60^\circ = 1080^\circ = 360^\circ \times 3\)、\(-300^\circ – 60^\circ = -360^\circ\) は、いずれも 360° の倍数なので同じ位置です。

一方 \(300^\circ,\ -60^\circ,\ -780^\circ\) は 360° の倍数になりません。

よって答えは \(\color{red}{420^\circ,\ 1140^\circ,\ -300^\circ}\) です。

弧度法とは？（ラジアンで角を測る）

弧度法の考え方（弧の長さ÷半径）

弧度法では、角の大きさを「弧の長さ を 半径 で割った値」で定義します。

同じ中心角なら、扇形が大きくても小さくても、弧の長さと半径の比は一定になります。

だからこの比で角を測れるのです。

特に 半径 1 の円で考えると、角の大きさはそのまま 弧の長さ と一致するので、とても扱いやすくなります。

この単位を「ラジアン」といいますが、ふだんは単位を省略して数値だけで書きます。

度数法と弧度法の変換（180°＝π が基準）

変換のカギはたった 1 つ、\(\color{red}{180^\circ = \pi}\) です。

半径 1 の円の周の長さは \(2\pi\) で、これが 1 周 ＝ 360° にあたるので \(360^\circ = 2\pi\)、その半分が \(180^\circ = \pi\) というわけです。

ここから、度をラジアンに直すには \(\color{deepskyblue}{\frac{\pi}{180}}\) を掛け、ラジアンを度に直すには \(\color{hotpink}{\frac{180}{\pi}}\) を掛ければよい、とわかります。

よく使う角は、変換結果を覚えてしまうと速いです。

度数法	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
弧度法	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(\frac{3}{2}\pi\)	\(2\pi\)

扇形の弧の長さと面積

公式

半径 \(r\)、中心角 \(\theta\)（ラジアン）の扇形について、弧の長さ \(\ell\) と面積 \(S\) は次の式で求められます。

\(\color{red}{\ell = r\theta}\)

\(\color{red}{S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}\ell r}\)

なぜこの式になるの？

円全体（中心角 \(2\pi\)）の円周は \(2\pi r\)、面積は \(\pi r^2\) です。

扇形はその一部なので、中心角の割合 \(\frac{\theta}{2\pi}\) を掛ければよく、\(\ell = 2\pi r \times \frac{\theta}{2\pi} = r\theta\)、\(S = \pi r^2 \times \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2\theta\) となります。

弧度法での三角関数の値（単位円）

単位円による三角関数の定義

原点 O を中心とする半径 1 の円を単位円といいます。

\(x\) 軸の正の向きを始線として、角 \(\theta\) の動径と単位円の交点を考えると、その交点の座標が \(\color{deepskyblue}{(\cos\theta,\ \sin\theta)}\) になります。

つまり \(x\) 座標が \(\color{deepskyblue}{\cos\theta}\)、\(y\) 座標が \(\color{hotpink}{\sin\theta}\) です。

また、正接は \(\color{red}{\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}}\) で、これは動径を延ばした直線と直線 \(x=1\) との交点の \(y\) 座標としても読み取れます。

主要な角の値の求め方

値を求めるときは、まず動径がどの象限にあるかで符号（＋か−か）を決め、次に \(\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3}\) などの基準の角と同じ形から大きさを決めます。

たとえば \(\frac{\pi}{4}\) 系なら \(\sin,\ \cos\) の大きさは \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)、\(\tan\) は \(1\)。

\(\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{3}\) 系なら \(\frac{1}{2}\) または \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\tan\) は \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) または \(\sqrt{3}\) です。

よって \(\sin\frac{5}{4}\pi = \color{red}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}\) です。

\(\cos\frac{5}{4}\pi = \color{red}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}\) です。

\(\tan\frac{5}{4}\pi = \color{red}{1}\) です。

したがって \(\sin\frac{11}{6}\pi = \color{red}{-\frac{1}{2}}\) です。

\(\cos\frac{11}{6}\pi = \color{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) です。

\(\tan\frac{11}{6}\pi = \color{red}{-\frac{1}{\sqrt{3}}}\) です。

よって \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \color{red}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}\) です。

\(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \color{red}{\frac{1}{2}}\) です。

\(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \color{red}{-\sqrt{3}}\) です。

まとめ：一般角と弧度法