今日の板書はこれ！
一般角 \(\theta\) の動径と単位円の交点を \((x,\ y)\) とすると、\(\sin\theta=y,\ \cos\theta=x,\ \tan\theta=\frac{y}{x}\)。
① \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
② \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
③ \(1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\)
\(\theta\) の動径が第3象限にあり、\(\cos\theta=-\frac{3}{5}\) のとき、\(\sin\theta,\ \tan\theta\) の値を求めよ。
▼ 解答
第3象限だから \(\sin\theta<0\)。
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より \(\sin\theta=-\sqrt{1-\cos^2\theta}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\color{red}{-\frac{4}{5}}\)
\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\color{red}{\frac{4}{3}}\)
もっと詳しく願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。
三角関数の相互関係とは？覚えるべき3つの公式
\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) は、バラバラに見えて実は深くつながっているんだ。
つながっている…？
そう。だから「1つの値」が分かれば、公式を使って「残りの2つ」も芋づる式に求められるんだよ。
まず確認したいのが三角関数の定義です。
一般角 \(\theta\) の動径と単位円の交点を \((x,\ y)\) とするとき、\(\sin\theta=y\)、\(\cos\theta=x\)、\(\tan\theta=\frac{y}{x}\) でしたね。
この定義から、次の3つの「相互関係の公式」が導けます。
三角関数の問題で何度も登場する超重要公式です。
① \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
② \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
③ \(1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\)
公式②・③はどこから来るの？
② は、単位円の半径が1であることそのものなんだ。点 \((x,\ y)\) は単位円上にあるから \(x^2+y^2=1\)、つまり \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) だね。
③ は、② の両辺を \(\cos^2\theta\) で割ると出てきます。
\(\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\) となり、① を使えば \(\tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}\) です。
暗記しなくても、② から ③ が作れるんだ！
象限によって符号が決まる
値を求めるときにカギになるのが「符号（プラスかマイナスか）」だよ。\(\theta\) の動径がどの象限にあるかで、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) の符号が決まるんだ。
単位円で考えると、\(\sin\theta=y\) は y座標、\(\cos\theta=x\) は x座標の符号と同じです。
表にまとめると次のようになります。
| 象限 | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) |
|---|---|---|---|
| 第1象限 | ＋ | ＋ | ＋ |
| 第2象限 | ＋ | － | － |
| 第3象限 | － | － | ＋ |
| 第4象限 | － | ＋ | － |
例えば第3象限なら、\(\sin\theta\) も \(\cos\theta\) もマイナス、\(\tan\theta\) はプラスだね。
例題1：1つの値から残りの2つを求める
\(\theta\) の動径が第3象限にあり、\(\cos\theta=-\frac{3}{5}\) のとき、\(\sin\theta,\ \tan\theta\) の値を求めよ。
考え方：まず符号を決める
\(\cos\theta\) の値が分かっているから、公式 ② \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を使えば \(\sin\theta\) が求まりそうだね。
ただし、\(\sin^2\theta\) から \(\sin\theta\) を求めるとき、プラスとマイナスの2つの候補が出ます。
そこで「第3象限」という条件が効いてきます。
第3象限では \(\sin\theta<0\) だから、マイナスの方に決まるんだ。
解いてみよう
公式 ② に \(\cos\theta=-\frac{3}{5}\) を代入すると、\(\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\) です。
第3象限だから \(\sin\theta<0\)、よって \(\sin\theta=-\sqrt{\frac{16}{25}}=\color{red}{-\frac{4}{5}}\) と求まります。
次に \(\tan\theta\) は公式 ① より \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\color{red}{\frac{4}{3}}\) です。
符号さえ決めれば、あとは公式に当てはめるだけだね！
例題2：三角関数の等式の証明
等式 \(\tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}=\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\) を証明せよ。
等式 A＝B を証明する3つの方針
三角関数の等式 \(A=B\) の証明には、おもに次の3つの方針があります。
[1] \(A\) か \(B\) の複雑な方を変形して、簡単な方を導く。
[2] \(A\) も \(B\) も複雑なら、両方を変形して同じ式を導く。
[3] \(A-B=0\) を示す。
今回は左辺の方が複雑だから、[1] の方針で左辺を変形していこう。
解いてみよう
左辺を公式 ① \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) で書き直すと、\(\tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\) です。
通分すると \(\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}\) となり、ここで公式 ② を使うと \(\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\) になります。
これは右辺と一致するので、\(\tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}=\color{red}{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}}\) が証明できました。
複雑な方をいじって、公式 ② でスッキリさせるのがコツなんだね！
例題3：sinθとcosθの対称式の値
\(\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}\) のとき、\(\sin\theta\cos\theta\) と \(\sin^3\theta+\cos^3\theta\) の値を求めよ。
対称式は「和」と「積」で表せる
\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を入れかえても変わらない式を「対称式」というよ。対称式は、和 \(\sin\theta+\cos\theta\) と積 \(\sin\theta\cos\theta\) だけで表せるんだ。
さらに三角関数では、いつでも \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) が成り立ちます。
これを使うと、和と積のどちらか一方が分かれば、もう一方も求められます。
解いてみよう
まず \(\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}\) の両辺を2乗します。
すると \(\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\frac{1}{4}\) です。
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) だから \(1+2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{4}\)、これを解いて \(\sin\theta\cos\theta=\color{red}{-\frac{3}{8}}\) と求まります。
次は \(\sin^3\theta+\cos^3\theta\)。因数分解の公式 \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) を使うよ。
\(\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)^3-3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)\) と変形できます。
和 \(\frac{1}{2}\) と積 \(-\frac{3}{8}\) を代入すると、\(\left(\frac{1}{2}\right)^3-3\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}+\frac{9}{16}=\color{red}{\frac{11}{16}}\) です。
和と積さえ分かれば、3乗の和まで求められるんだ！
練習問題に挑戦しよう
ここまでの3パターンを、自分の手で確かめてみましょう。
答えは下にまとめてあります。
練習10 (1) \(\theta\) の動径が第4象限にあり \(\sin\theta=-\frac{1}{3}\) のとき、\(\cos\theta,\ \tan\theta\) を求めよ。 (2) \(\theta\) の動径が第3象限にあり \(\tan\theta=2\) のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta\) を求めよ。
練習11 等式 \(\tan^2\theta-\sin^2\theta=\tan^2\theta\sin^2\theta\) を証明せよ。
練習12 \(\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{3}\) のとき、(1) \(\sin\theta\cos\theta\) (2) \(\sin^3\theta-\cos^3\theta\) を求めよ。
答え合わせしたい！
練習10 (1) \(\cos\theta=\color{red}{\frac{2\sqrt{2}}{3}},\ \tan\theta=\color{red}{-\frac{\sqrt{2}}{4}}\) (2) \(\sin\theta=\color{red}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}},\ \cos\theta=\color{red}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}\)
練習11 左辺 \(=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}-\sin^2\theta=\sin^2\theta\left(\frac{1}{\cos^2\theta}-1\right)=\sin^2\theta\cdot\frac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{\sin^2\theta\cdot\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\tan^2\theta\sin^2\theta=\) 右辺
練習12 (1) \(\sin\theta\cos\theta=\color{red}{\frac{4}{9}}\) (2) \(\sin^3\theta-\cos^3\theta=\color{red}{\frac{13}{27}}\)
まとめ：三角関数の相互関係
さて、今回のまとめだよ！
① \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) ② \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) ③ \(1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\)
1つの値から残り2つを求めるときは、②③で値を出して、象限で符号を決める。
等式の証明は、複雑な辺を変形して ② でまとめるのが定石。
対称式は「和 \(\sin\theta+\cos\theta\)」と「積 \(\sin\theta\cos\theta\)」で表し、2乗して ② を使う。
また一つ賢くなった！
↑前の記事↑
（次の記事は準備中）
コメント