今日の板書はこれ！
◆ 有理数（分数）への拡張（\(a>0\)、\(m,n\) は正の整数）
\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) 例：\(2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}\)、\(5^{\frac{3}{2}}=\sqrt{5^3}\)
◆ 指数法則（\(a>0,\ b>0\)、\(r,s\) は有理数）
[1] \(a^r a^s=a^{r+s}\)、\(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)
[2] \((a^r)^s=a^{rs}\)
[3] \((ab)^r=a^r b^r\)、\(\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}\)
次の値を求めよ \(8^{\frac{4}{3}}\)
▼ 解答
\(8^{\frac{4}{3}}=(2^3)^{\frac{4}{3}}=2^{3\times\frac{4}{3}}\)
\(\phantom{8^{\frac{4}{3}}}=2^4=16\)
もっと詳しくお願いします！！
現役教員として数学を教えている「さん」と申します。
「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？教科書や参考書を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。
このサイトでは、私が受けた質問やつまずきポイントをもとに、意味から理解できるように解説していきます。
有理数（分数）の指数を計算してみよう
例えば、こんな値を求めてみよう。指数が分数になっているよ。
次の値を求めよ \(8^{\frac{4}{3}}\)
指数が分数って、どうやって計算するんですか？
ポイントになる知識を、順番に見ていこう。
解くために必要な3つの知識
① 有理数の指数の定義：分数の指数は累乗根で表せる
指数が分数のときは、\(a^{\frac{m}{n}}\) を「\(a\) を \(m\) 乗して、\(n\) 乗根をとったもの」と決めるんだ。
\(a>0\) で \(m,n\) が正の整数のとき、有理数の指数を \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) と定めます。
たとえば \(2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}\)、\(5^{\frac{3}{2}}=\sqrt{5^3}\) のように、分数の指数と累乗根は同じものを表しています。
累乗根（\(\sqrt[n]{\ }\)）の計算があいまいな人は、（累乗根の性質はこちらで復習）してから読み進めるとスムーズです。
② マイナスの指数は逆数にする
指数がマイナスのときは、逆数にすればいいんだったね。
\(a^{-r}=\frac{1}{a^r}\) なので、たとえば \(5^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\) となります。
この約束は整数の指数のときと同じで、指数を有理数まで広げても変わりません（マイナスの指数の復習はこちら）。
③ 有理数の指数法則
指数が有理数になっても、指数法則はこれまでと同じように使えるよ。
\(a>0,\ b>0\) で \(r,s\) が有理数のとき、次の指数法則が成り立ちます。
[1] \(a^r a^s=a^{r+s}\)、\(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)
[2] \((a^r)^s=a^{rs}\)
[3] \((ab)^r=a^r b^r\)、\(\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}\)
かけ算は指数をたす、わり算は指数をひく、累乗は指数をかける——この3つを押さえれば、分数の指数の計算もこわくありません。
実際に計算してみよう
じゃあ、さっきの3つの知識を使って解いていくよ。
次の値を求めよ \(8^{\frac{4}{3}}\)
まず、底の \(8\) を \(8=2^3\) と素因数に分解します。
すると \(8^{\frac{4}{3}}=(2^3)^{\frac{4}{3}}\) となり、指数法則 \((a^r)^s=a^{rs}\) を使うと \(2^{3\times\frac{4}{3}}=2^4\) です。
したがって \(8^{\frac{4}{3}}=2^4=16\) となります。
次の値を求めよ \(27^{-\frac{1}{3}}\)
マイナスの指数なので、まず逆数にして \(27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{27^{\frac{1}{3}}}\) とします。
\(27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3\) なので、したがって \(27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\) となります。
次の式を計算せよ \(8^{\frac{1}{2}}\times(8^{\frac{2}{5}})^{\frac{5}{6}}\div 8^{\frac{1}{6}}\)
底がすべて \(8\) なので、指数法則で指数だけを計算します。
まず \((8^{\frac{2}{5}})^{\frac{5}{6}}=8^{\frac{2}{5}\times\frac{5}{6}}=8^{\frac{1}{3}}\) です。
\(8^{\frac{1}{2}}\times 8^{\frac{1}{3}}\div 8^{\frac{1}{6}}=8^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}\)
\(\phantom{8^{\frac{1}{2}}\times 8^{\frac{1}{3}}}=8^{\frac{3+2-1}{6}}=8^{\frac{2}{3}}\)
あとは \(8=2^3\) より \(8^{\frac{2}{3}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^2\) なので、したがって 答え \(=4\) です。
次の式を計算せよ \(\sqrt{2}\times\sqrt[3]{2}\times\sqrt[6]{2}\)
累乗根を分数の指数になおすと、\(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\)、\(\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}\)、\(\sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{6}}\) です。
\(\sqrt{2}\times\sqrt[3]{2}\times\sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}\)
\(\phantom{\sqrt{2}\times\sqrt[3]{2}}=2^{\frac{3+2+1}{6}}=2^1\)
したがって 答え \(=2\) となります。
底をそろえて、指数だけ計算すればいいんですね！
練習問題
自分でも解いてみよう。底を素因数に分解して、指数をそろえるのがコツだよ。
次の値を求めよ
\(9^{\frac{1}{2}}\)
答えを見る
\(9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3\)
次の値を求めよ
\(27^{\frac{2}{3}}\)
答えを見る
\(27^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9\)
次の値を求めよ
\(125^{-\frac{2}{3}}\)
答えを見る
\(125^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{125^{\frac{2}{3}}}\)
\(\phantom{125^{-\frac{2}{3}}}=\frac{1}{(\sqrt[3]{125})^2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\)
次の式を計算せよ
\(3^{\frac{3}{2}}\times 3^{\frac{4}{3}}\div 3^{\frac{5}{6}}\)
答えを見る
\(3^{\frac{3}{2}}\times 3^{\frac{4}{3}}\div 3^{\frac{5}{6}}=3^{\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{5}{6}}\)
\(\phantom{3^{\frac{3}{2}}\times}=3^{\frac{9+8-5}{6}}=3^2=9\)
次の式を計算せよ
\((a^{\frac{3}{4}})^{\frac{2}{3}}\div a^{\frac{5}{6}}\times a^{\frac{1}{3}}\)
答えを見る
\((a^{\frac{3}{4}})^{\frac{2}{3}}\div a^{\frac{5}{6}}\times a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}-\frac{5}{6}+\frac{1}{3}}\)
\(\phantom{(a^{\frac{3}{4}})}=a^{\frac{3-5+2}{6}}=a^0=1\)
次の式を計算せよ
\(\sqrt[4]{5}\times\sqrt[8]{5^3}\div\sqrt{5}\)
答えを見る
\(\sqrt[4]{5}\times\sqrt[8]{5^3}\div\sqrt{5}=5^{\frac{1}{4}+\frac{3}{8}-\frac{1}{2}}\)
\(\phantom{\sqrt[4]{5}\times}=5^{\frac{2+3-4}{8}}=5^{\frac{1}{8}}=\sqrt[8]{5}\)
次の式を計算せよ
\(\sqrt[3]{4}\div\sqrt[12]{4}\times\sqrt[4]{4}\)
答えを見る
\(\sqrt[3]{4}\div\sqrt[12]{4}\times\sqrt[4]{4}=4^{\frac{1}{3}-\frac{1}{12}+\frac{1}{4}}\)
\(\phantom{\sqrt[3]{4}\div}=4^{\frac{4-1+3}{12}}=4^{\frac{1}{2}}=2\)
まとめ：有理数の指数
さて、今回のまとめだよ！
・有理数の指数：\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)（\(a>0\)）
・マイナスの指数は逆数：\(a^{-r}=\frac{1}{a^r}\)
・指数法則（\(r,s\) が有理数）：かけ算は指数をたし算、わり算はひき算、累乗はかけ算
・計算のコツ：底を素因数に分解して、指数をそろえる
また一つ賢くなった！
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