【数学Ⅱ】指数関数と対数関数17：常用対数と桁数

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

常用対数ってなに？

なぜ10が特別かというと、わたしたちがふだん使っている数が10進法だからです。

位が1つ上がるごとに10倍になる世界では、\(\log_{10}\) との相性がとてもよいのです。

桁数はどうやって決まる？

1桁の数は \(1\) から \(9\)、2桁の数は \(10\) から \(99\)、3桁の数は \(100\) から \(999\) です。

これを10のべき乗で書き直すと、1桁は \(10^0\) 以上 \(10^1\) 未満、2桁は \(10^1\) 以上 \(10^2\) 未満、3桁は \(10^2\) 以上 \(10^3\) 未満、というふうにピタリと対応します。

たとえば \(10^2 \leq N < 10^3\) を満たす数 \(N\) は、\(100\) 以上 \(1000\) 未満なので3桁です。

おもしろいことに、\(N\) が \(10^{2.8}\) のように整数でなくても、\(100\) 以上 \(1000\) 未満に入っていれば整数部分は3桁だと分かります。

桁数を求める＝「10の何乗か」を求める

そして、ある数 \(N\) が10の何乗であるか、つまり \(10^P=N\) の \(P\) は、対数の定義から \(P=\log_{10}N\) で求められます。

例題1：3の10乗は何桁？

考え方

ここで \(\log_{10}3^{10}=10\log_{10}3\) と指数を前に出せるのは、対数の性質のおかげです。

あやしい人は記事10で復習しておきましょう。

解いてみよう

与えられた \(\log_{10}3=0.4771\) を使うと、\(\log_{10}3^{10}=10\log_{10}3=10 \times 0.4771=4.771\) です。

つまり \(3^{10}=10^{4.771}\) と分かりました。

あとは \(4.771\) が \(4\) と \(5\) の間にあることから、\(10^4 < 10^{4.771} < 10^5\)、すなわち \(10000 < 3^{10} < 100000\) です。

\(10000\) 以上 \(100000\) 未満の数なので、\(3^{10}\) は 5桁 の数だと分かります。

練習で身につけよう

答えを見る

両辺の常用対数をとると \(\log_{10}2^{100}=100\log_{10}2=100 \times 0.3010=30.10\)。

よって \(2^{100}=10^{30.10}\) となり、\(10^{30} < 10^{30.10} < 10^{31}\)。

したがって \(2^{100}\) は 31桁 の数。

答えを見る

8桁の数は \(10^7\) 以上 \(10^8\) 未満だから、条件は \(10^7 \leq 3^n < 10^8\)。

各辺の常用対数をとると \(7 \leq \log_{10}3^n < 8\)、すなわち \(7 \leq n\log_{10}3 < 8\)。

\(\log_{10}3=0.4771\) を代入して \(7 \leq 0.4771n < 8\)。

これを解くと \(\frac{7}{0.4771} \leq n < \frac{8}{0.4771}\)、つまり \(14.6\cdots \leq n < 16.7\cdots\)。

\(n\) は自然数だから \(n=15,\ 16\)。

まとめ：常用対数と桁数