【数学Ⅱ】式と証明07：部分分数分解

さん

今日の板書はこれ！

部分分数分解

■ 部分分数分解
1つの分数式を、2つ以上の分数式の和・差の形に変形することを部分分数分解という。

\(\frac{x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{{\color{#E9548E}{a}}}{x+1}+\frac{{\color{#45A3DA}{b}}}{x+2}\)

分母の因数ごとに分けた形をおき、恒等式として定数を決める。

例題

等式 \(\frac{x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{{\color{#E9548E}{a}}}{x+1}+\frac{{\color{#45A3DA}{b}}}{x+2}\) が \(x\) についての恒等式となるように、定数 \({\color{#E9548E}{a}}\)，\({\color{#45A3DA}{b}}\) の値を定めよ。

▼ 解答

【係数比較法】

右辺を通分すると　\(\frac{{\color{#E9548E}{a}}(x+2)+{\color{#45A3DA}{b}}(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})x+(2{\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}})}{(x+1)(x+2)}\)

両辺の分子の係数を比較して　\({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}}=1\)，\(2{\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}}=3\)

よって　\({\color{#E9548E}{a}}=2,\ {\color{#45A3DA}{b}}=-1\)

【数値代入法】

両辺に \((x+1)(x+2)\) を掛けた　\(x+3={\color{#E9548E}{a}}(x+2)+{\color{#45A3DA}{b}}(x+1)\)　も恒等式である。

\(x=-2\) を代入すると　\(1=-{\color{#45A3DA}{b}}\)　より　\({\color{#45A3DA}{b}}=-1\)

\(x=-1\) を代入すると　\(2={\color{#E9548E}{a}}\)　より　\({\color{#E9548E}{a}}=2\)

生徒

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部分分数分解とは
部分分数分解の定数を求める
練習問題
まとめ：部分分数分解

部分分数分解とは

分数式の足し算では、分母をそろえて1つの分数式にまとめました。

部分分数分解はその逆で、1つの分数式を2つ以上の分数式の和・差に分ける変形です。

たとえば　\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}\)　なので、逆に読むと　\(\frac{1}{x(x+1)}\)　は　\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)　と分解できます。

一般には、分母の因数ごとに分けた形　\(\frac{{\color{#E9548E}{a}}}{x+1}+\frac{{\color{#45A3DA}{b}}}{x+2}\)　のようにおき、これが恒等式になるように \({\color{#E9548E}{a}}\)，\({\color{#45A3DA}{b}}\) を決めます。

部分分数分解の定数を求める

例題

方法は恒等式と同じく2通りあります。

係数比較法では、右辺を通分して分子どうしを比べます。

両辺の分子の係数を比較して　\({\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}}=1\)，\(2{\color{#E9548E}{a}}+{\color{#45A3DA}{b}}=3\)

よって　\({\color{#E9548E}{a}}=2,\ {\color{#45A3DA}{b}}=-1\)

さん

分母が同じだから、分子が恒等的に等しければいいんだね！

数値代入法では、まず両辺に分母を掛けて分数をなくします。

そのうえで、\(x+2=0\)、\(x+1=0\) となる値を代入すると、片方の文字だけが残ります。

両辺に \((x+1)(x+2)\) を掛けた　\(x+3={\color{#E9548E}{a}}(x+2)+{\color{#45A3DA}{b}}(x+1)\)　も恒等式である。

\(x=-2\) を代入すると　\(1=-{\color{#45A3DA}{b}}\)　より　\({\color{#45A3DA}{b}}=-1\)

\(x=-1\) を代入すると　\(2={\color{#E9548E}{a}}\)　より　\({\color{#E9548E}{a}}=2\)

数値代入法で求めた値は必要条件なので、本来は逆の確認が必要です。

ここでは、\({\color{#E9548E}{a}}=2,\ {\color{#45A3DA}{b}}=-1\) のとき右辺 \(=2(x+2)-(x+1)=x+3\) となり、恒等式であることが確かめられます。

したがって　\(\frac{x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)　と分解できます。

練習問題

練習1

等式 \(\frac{1}{x(x+1)}=\frac{{\color{#E9548E}{a}}}{x}+\frac{{\color{#45A3DA}{b}}}{x+1}\) が \(x\) についての恒等式となるように、定数 \({\color{#E9548E}{a}}\)，\({\color{#45A3DA}{b}}\) の値を定めよ。

答えを見る

両辺に \(x(x+1)\) を掛けると　\(1={\color{#E9548E}{a}}(x+1)+bx\)

\(x=0\) を代入すると　\({\color{#E9548E}{a}}=1\)、\(x=-1\) を代入すると　\(1=-{\color{#45A3DA}{b}}\)　より　\({\color{#45A3DA}{b}}=-1\)

逆にこのとき、右辺 \(=(x+1)-x=1\) となり恒等式である。

\({\color{#E9548E}{a}}=1,\ {\color{#45A3DA}{b}}=-1\)

練習2

\(\frac{4}{(x-1)(x+3)}\) を部分分数に分解せよ。

答えを見る

\(\frac{4}{(x-1)(x+3)}=\frac{{\color{#E9548E}{a}}}{x-1}+\frac{{\color{#45A3DA}{b}}}{x+3}\)　とおき、両辺に \((x-1)(x+3)\) を掛けると　\(4={\color{#E9548E}{a}}(x+3)+{\color{#45A3DA}{b}}(x-1)\)

\(x=1\) を代入すると　\(4=4{\color{#E9548E}{a}}\)　より　\({\color{#E9548E}{a}}=1\)、\(x=-3\) を代入すると　\(4=-4{\color{#45A3DA}{b}}\)　より　\({\color{#45A3DA}{b}}=-1\)

逆にこのとき、右辺 \(=(x+3)-(x-1)=4\) となり恒等式である。

\(\frac{4}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+3}\)