【数学Ⅱ】複素数と方程式05：判別式と解の種類

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

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判別式で解の種類が分かる

解の公式 \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) を見ると、解が実数になるか虚数になるかは、根号の中の \(b^2-4ac\) の符号で決まることが分かります。

この \(b^2-4ac\) を判別式といい、\(D\) で表します。

具体的な方程式で確かめてみましょう。

• \(x^2+2x-3=0\)：\({\color{#45A3DA}{D=4+12=16>0}}\)、解は \(x=1,\ -3\) で異なる2つの実数解
• \(x^2+2x+1=0\)：\({\color{#45A3DA}{D=4-4=0}}\)、解は \(x=-1\) で重解
• \(x^2+2x+5=0\)：\({\color{#45A3DA}{D=4-20=-16<0}}\)、解は \(x=-1\pm2i\) で異なる2つの虚数解

グラフで見ると、判別式 \(D\) の符号は、放物線 \(y=ax^2+bx+c\) と \(x\) 軸の共有点の個数に対応しています。

実数係数の2次方程式では、どの場合も、判別式 \(D\) の符号によって解の種類が次のように決まります。

• \({\color{#45A3DA}{D>0}}\ \Leftrightarrow\ \) 異なる2つの実数解をもつ
• \({\color{#45A3DA}{D=0}}\ \Leftrightarrow\ \) 重解をもつ
• \({\color{#45A3DA}{D<0}}\ \Leftrightarrow\ \) 異なる2つの虚数解をもつ

虚数解になるときの形を、上の \(x^2+2x+5=0\) で見てみましょう。

\({\color{#45A3DA}{D=-16}}\) なので、解の公式の根号の部分は \(\sqrt{-16}=4i\) となります。

\(x=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i\)

2つの解 \(-1+2i\) と \(-1-2i\) は、実部が同じで虚部の符号だけが違うので、互いに共役な複素数です。

\(D<0\) のときの2つの虚数解は、いつもこのように互いに共役な複素数になります。

2次方程式の解の種類を判別する

(1) 係数が数字のとき

\(a=2,\ b=-1,\ c=3\) なので、判別式は \({\color{#45A3DA}{D=(-1)^2-4\cdot2\cdot3=-23}}\) です。

\(D<0\) なので、異なる2つの虚数解をもちます。

(2) 定数 m を含むとき

判別式は \({\color{#45A3DA}{D=m^2-4\cdot1\cdot4=(m+4)(m-4)}}\) となり、\(m\) の値によって符号が変わります。

そこで、\(D\) を \(m\) の2次関数と見て、符号を調べます。

グラフより、\(m<-4,\ 4< m\) のとき \(D>0\)、\(m=\pm4\) のとき \(D=0\)、\(-4< m<4\) のとき \(D<0\) となります。

\(m<-4,\ 4< m\) のとき　異なる2つの実数解

\(m=\pm4\) のとき　重解

\(-4< m<4\) のとき　異なる2つの虚数解

練習問題

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(1)　\(D=25-20=5>0\)　より　異なる2つの実数解

(2)　\(\frac{D}{4}=3-5=-2<0\)　より　異なる2つの虚数解

(3)　\(\frac{D}{4}=24-24=0\)　より　重解

(4)　\(D=1-16=-15<0\)　より　異なる2つの虚数解

答えを見る

判別式を \(D\) とすると

\(D=(m+1)^2-4=m^2+2m-3=(m+3)(m-1)\)

よって

\(m<-3,\ 1< m\) のとき　異なる2つの実数解

\(m=-3,\ 1\) のとき　重解

\(-3< m<1\) のとき　異なる2つの虚数解

まとめ：判別式と解の種類