【数学Ⅱ】積分08：定積分と面積

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

定積分と面積とは？

区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(\color{#EE4656}{f(x)}\geq \color{#45A3DA}{g(x)}\) のとき、

2曲線 \(y=f(x)\)、\(y=g(x)\) と2直線 \(x=a\)、\(x=b\) で囲まれた部分の面積は、定積分で求められます。

長方形の面積で確かめる（具体例）

2直線 \(y=3\)、\(y=1\) と2直線 \(x=0\)、\(x=3\) で囲まれた部分を考えます。

上の直線は \(y=3\)、下の直線は \(y=1\) です。

この部分は、縦 \(\color{#EE4656}{3}-\color{#45A3DA}{1}=2\)、横 3 の長方形なので、

面積は　\(2\cdot 3=\color{#E9548E}{6}\)　です。

一方、（上の関数）−（下の関数）を定積分すると、

\(\int_0^3 (\color{#EE4656}{3}-\color{#45A3DA}{1})\,dx=\left[2x\right]_0^3=\color{#E9548E}{6}\)

となり、長方形の面積と一致します。

2曲線の間の面積に一般化する

区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(\color{#EE4656}{f(x)}\geq \color{#45A3DA}{g(x)}\) のとき、

\(y=f(x)\) が上、\(y=g(x)\) が下にあります。

囲まれた部分の面積 \(\color{#E9548E}{S}\) は、

\(\color{#E9548E}{S}=\int_a^b \{\color{#EE4656}{f(x)}-\color{#45A3DA}{g(x)}\}\,dx\)

となります。

つまり、（上の関数）−（下の関数）を定積分すれば、面積が求められます。

x 軸は直線 y＝0 と考える

\(x\) 軸は直線 \(y=0\)です。

なので、曲線と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積も、\(x\) 軸を \(y=0\) として、同じ式で求められます。

曲線が \(x\) 軸より上にあれば、下の関数が 0になり、

\(\color{#E9548E}{S}=\int_a^b \{\color{#EE4656}{f(x)}-\color{#45A3DA}{0}\}\,dx\)

曲線が \(x\) 軸より下にあれば、上の関数が 0になり、

\(\color{#E9548E}{S}=\int_a^b \{\color{#EE4656}{0}-\color{#45A3DA}{f(x)}\}\,dx\)

となります。

例題1：x 軸より上側の面積

考え方

放物線 \(y=x^2+1\) は、いつも \(x\) 軸より上にあります。

なので、上の関数は \(x^2+1\)、下の関数は \(x\) 軸の \(y=0\) です。

解いてみよう

上の関数は　\(y=x^2+1\)、下の関数は　\(y=0\)（\(x\) 軸）

なので、面積 \(\color{#E9548E}{S}\) は

\(\color{#E9548E}{S}=\int_1^2 \{(\color{#EE4656}{x^2+1})-\color{#45A3DA}{0}\}\,dx\)

\(=\int_1^2 (x^2+1)\,dx\)

\(=\left[\frac{1}{3}x^3+x\right]_1^2\)

\(=\frac{1}{3}(2^3-1^3)+(2-1)\)

\(=\frac{7}{3}+1\)

\(\color{#E9548E}{=\frac{10}{3}}\)

となります。

例題2：x 軸より下側の面積

考え方

放物線と \(x\) 軸の共有点の \(x\) 座標を求めます。

\(x^2-4=0\)　より　\((x+2)(x-2)=0\)

よって、　\(x=-2,\ 2\)　です。

区間 \(-2\leq x\leq 2\) では、放物線が \(x\) 軸より下にあります。

なので、上の関数は \(x\) 軸の \(y=0\)、下の関数は \(x^2-4\) です。

解いてみよう

上の関数は　\(y=0\)（\(x\) 軸）、下の関数は　\(y=x^2-4\)

なので、面積 \(\color{#E9548E}{S}\) は

\(\color{#E9548E}{S}=\int_{-2}^2 \{\color{#EE4656}{0}-(\color{#45A3DA}{x^2-4})\}\,dx\)

\(=-\int_{-2}^2 (x^2-4)\,dx\)

\(=-\left[\frac{1}{3}x^3-4x\right]_{-2}^2\)

\(=-\left(-\frac{16}{3}-\frac{16}{3}\right)\)

\(\color{#E9548E}{=\frac{32}{3}}\)

となります。

例題3：x 軸の上と下にまたがる面積

考え方

曲線と \(x\) 軸の共有点の \(x\) 座標を求めます。

\(x^3-3x^2+2x=0\)　より　\(x(x-1)(x-2)=0\)

よって、　\(x=0,\ 1,\ 2\)　です。

区間 \(0\leq x\leq 1\) では曲線が \(x\) 軸より上、区間 \(1\leq x\leq 2\) では曲線が \(x\) 軸より下にあります。

解いてみよう

\(0\leq x\leq 1\) の部分の面積を \(\color{#E9548E}{S_1}\) とすると、

\(\color{#E9548E}{S_1}=\int_0^1 \{(\color{#EE4656}{x^3-3x^2+2x})-\color{#45A3DA}{0}\}\,dx\)

\(=\left[\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2\right]_0^1\)

\(=\frac{1}{4}\)

\(1\leq x\leq 2\) の部分の面積を \(\color{#E9548E}{S_2}\) とすると、

\(\color{#E9548E}{S_2}=\int_1^2 \{\color{#EE4656}{0}-(\color{#45A3DA}{x^3-3x^2+2x})\}\,dx\)

\(=-\left[\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2\right]_1^2\)

\(=-\left(0-\frac{1}{4}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\)

よって、面積の和 \(\color{#E9548E}{S}\) は

\(\color{#E9548E}{S}=\color{#E9548E}{S_1}+\color{#E9548E}{S_2}\)

\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)

\(\color{#E9548E}{=\frac{1}{2}}\)

となります。

例題4：放物線と直線の間の面積

考え方

放物線と直線の共有点の \(x\) 座標を求めます。

\(x^2-1=x+1\)　より　\(x^2-x-2=0\)

\((x+1)(x-2)=0\)　より　\(x=-1,\ 2\)　です。

区間 \(-1\leq x\leq 2\) では、直線が放物線より上にあります。

なので、上の関数は \(x+1\)、下の関数は \(x^2-1\) です。

解いてみよう

上の関数は　\(y=x+1\)、下の関数は　\(y=x^2-1\)

なので、面積 \(\color{#E9548E}{S}\) は

\(\color{#E9548E}{S}=\int_{-1}^2 \{(\color{#EE4656}{x+1})-(\color{#45A3DA}{x^2-1})\}\,dx\)

\(=\int_{-1}^2 (-x^2+x+2)\,dx\)

\(=\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-1}^2\)

\(=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)\)

\(\color{#E9548E}{=\frac{9}{2}}\)

となります。

練習問題

まとめ：定積分と面積