【数学Ⅱ】積分03：定積分の定義

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

定積分とは？

具体例：2x を 1 から 3 まで積分する

関数 \(f(x)=2x\) で考えてみます。

\(2x\) の原始関数は \(x^2+C\) です。

この原始関数に \(x=3\) を代入した値 から、\(x=1\) を代入した値 を引いてみます。

\((3^2+C)-(1^2+C)=9-1=8\)

このように計算した値 \(8\) を、\(2x\) の 1 から 3 までの定積分といい、次のように書きます。

\(\int_1^3 2x\,dx=8\)

たとえば原始関数として \(x^2+5\) を選んでも、\((3^2+5)-(1^2+5)=14-6=8\) となり、答えは変わりません。

つまり、定積分の値は原始関数の選び方によらないので、積分定数 \(C\) は考えなくてよいのです。

文字で一般化する

いまの計算を文字で表します。

関数 \(f(x)\) の原始関数の1つを \(F(x)\) とすると、定積分は「\(F(x)\) に \(b\) を代入した値」から「\(F(x)\) に \(a\) を代入した値」を引いたものです。

\(\int_a^b f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b\)
\(=F(b)-F(a)\)

途中の \(\left[F(x)\right]_a^b\) は、「\(F(b)-F(a)\) を計算する」という意味の記号です。

原始関数を求めたら、まず大かっこでくくって上下に数を書き、そのあと代入して引き算をします。

また、\(\int\) の下に書く \(a\) を下端、上に書く \(b\) を上端、\(a\leq x\leq b\) を積分区間といいます。

不定積分と定積分のちがい

不定積分 \(\int f(x)\,dx\) の答えは \(F(x)+C\) という関数でした。

一方、定積分 \(\int_a^b f(x)\,dx\) の答えは \(F(b)-F(a)\) という1つの数になります。

例題1：定積分を計算しよう

考え方

まず \(x^2\) の原始関数を求めます。

公式 \(\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\) より、原始関数は \(\frac{1}{3}x^3\) です。

定積分なので \(C\) は書きません。

あとは 上端 2 を代入した値から下端 1 を代入した値を引く だけです。

解いてみよう

\(\int_1^2 x^2\,dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^2\)

上端 2 と下端 1 をそれぞれ代入して引くと、\(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\) となるので、答えは \(\frac{7}{3}\) です。

別解：定数を外に出す

\(\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^2\) は \(\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 1^3\) なので、共通の \(\frac{1}{3}\) でくくると \(\frac{1}{3}(2^3-1^3)\) になります。

これを最初から \(\frac{1}{3}\left[x^3\right]_1^2\) と書くのが別解です。

\(\int_1^2 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[x^3\right]_1^2=\frac{1}{3}(8-1)=\frac{7}{3}\)

分数の計算が1回で済むので、係数は外に出してから代入すると計算ミスが減ります。

練習問題

まとめ：定積分の定義